75. Описанная окружность

Определения и обозначения

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Иными словами, каждая вершина лежит на этой окружности, а не просто внутри неё. Это определение помогает проверить, подходит ли окружность к данному треугольнику: нужно убедиться, что она проходит через все три вершины.

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Обычно центр обозначают буквой O, а вершины — A, B и C, поэтому равенство расстояний записывают так: OA = OB = OC. По этому свойству центр можно найти построением, даже если окружность ещё не начерчена.

Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины треугольника. Его обозначают буквой R; например, R = OA = OB = OC. Равенство этих отрезков позволяет провести окружность с центром O через одну вершину и быть уверенным, что она пройдёт через две остальные.

Как это устроено

Если окружность проходит через A, B и C, то расстояния от её центра O до этих точек — радиусы одной и той же окружности. Все радиусы одной окружности равны, поэтому OA = OB = OC. Значит, центр описанной окружности обязательно равноудалён от всех вершин. Это свойство превращает задачу о поиске окружности в задачу о поиске точки с равными расстояниями.

Чтобы найти такую точку, постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам, например AB и AC. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Их пересечение обозначьте O, а затем проведите окружность с центром O и радиусом OA. Пересечение даёт нужный центр, потому что оно одновременно задаёт равные расстояния до концов обеих сторон.

Почему серединный перпендикуляр связан с равными расстояниями? Возьмём отрезок AB и его середину M. Если точка O лежит на перпендикуляре через M, то треугольники OMA и OMB прямоугольные, имеют общий катет OM и равные катеты MA и MB. Поэтому гипотенузы OA и OB равны. Обратное утверждение тоже верно: если OA = OB, то O находится на серединном перпендикуляре к AB.

Пусть O — пересечение серединных перпендикуляров к AB и AC. Из первого равенства следует OA = OB, а из второго — OA = OC. Следовательно, OA = OB = OC, и O равноудалена от всех трёх вершин. Значит, O принадлежит и серединному перпендикуляру к BC. Так объясняется, почему все три серединных перпендикуляра проходят через одну точку.

Теперь можно доказать, что через вершины треугольника проходит единственная окружность. Построенная окружность с центром O и радиусом OA содержит A, а из равенств расстояний следует, что на ней лежат также B и C. Другого центра быть не может: он должен находиться на серединных перпендикулярах к AB и AC, у которых только одна точка пересечения. Поэтому и окружность, заданная этими тремя вершинами, единственна.

Положение центра описанной окружности

Сравните вид треугольника и место, где пересекаются серединные перпендикуляры. Таблица помогает заранее понять, где искать центр, но само построение в каждом случае выполняют по одному правилу. Даже если центр находится вне треугольника, окружность всё равно проходит через все три его вершины.

Разбор задач

Постройте описанную окружность данного треугольника.

Нужно найти точку, равноудалённую от всех трёх вершин, а затем провести окружность с таким радиусом. Серединный перпендикуляр к стороне содержит точки, одинаково удалённые от её концов. Поэтому два таких перпендикуляра помогут определить единственный центр.

1. Обозначьте вершины треугольника A, B и C. Постройте серединный перпендикуляр к стороне AB и затем к стороне AC. Для построения найдите середину каждой стороны и проведите через неё перпендикуляр.
2. Отметьте точку O пересечения построенных прямых. По свойству серединного перпендикуляра OA = OB и OA = OC. Значит, OA = OB = OC.
3. Поставьте иглу циркуля в O и раскройте его до A. Проведите окружность: так как OB и OC равны OA, она пройдёт также через B и C.

Ответ: центр окружности — точка O, радиус равен OA.

В треугольнике ABC точка O равноудалена от A и B. Как определить, лежит ли O на серединном перпендикуляре к AB?

Дано равенство OA = OB. Требуется проверить, достаточно ли его для вывода о положении точки O. Для отрезка верен признак: любая точка, равноудалённая от его концов, лежит на серединном перпендикуляре.

1. Рассмотрите отрезок AB и его середину M. Серединный перпендикуляр к AB проходит через M под прямым углом к AB.
2. Сравните расстояния от O до концов отрезка. По условию OA = OB, поэтому точка O равноудалена от A и B.
3. Примените признак серединного перпендикуляра. Построение самой прямой не обязательно: равенства расстояний уже достаточно, чтобы установить принадлежность точки.

Ответ: да, точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника является серединой его гипотенузы, и найдите радиус, если гипотенуза равна 10 см.

Обозначим гипотенузу AB, прямой угол — при вершине C, а её середину — M. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин. Это можно увидеть по окружности с диаметром AB: угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому C также лежит на этой окружности.

1. Поскольку M — середина AB, MA = MB = 5 см. Окружность с центром M и радиусом MA проходит через A и B.
2. Так как ∠ACB = 90°, точка C лежит на окружности с диаметром AB. Следовательно, MC = MA = MB, и M равноудалена от всех вершин.
3. Центр описанной окружности единственен, поэтому он совпадает с M. Радиус равен половине гипотенузы: R = 10 : 2 = 5 см.

Ответ: центр — середина гипотенузы, радиус равен 5 см.

Типичные ошибки

Окружность произвольного радиуса через одну вершину. Её могут принять за описанную, потому что она уже проходит через часть треугольника. Но по определению нужны все три вершины: проверьте, что расстояния от центра до каждой из них одинаковы.

Предположение, что центр всегда внутри. Так думают, потому что центр часто рисуют внутри остроугольного треугольника. У тупоугольного он расположен снаружи, поэтому проверяйте положение по построенным серединным перпендикулярам, а не по рисунку.

Перпендикуляры проведены через вершины. Такой чертёж кажется подходящим, ведь прямые тоже перпендикулярны сторонам. Однако для центра нужны перпендикуляры, проведённые через середины сторон. Проверьте, что каждая построенная прямая делит свою сторону пополам.

Использован только один серединный перпендикуляр. Все точки на нём равноудалены от концов одной стороны, но среди них много возможных точек. Для определения центра найдите пересечение ещё с одним серединным перпендикуляром; тогда равенство расстояний будет выполнено до всех вершин.

Связь с другими темами

Для построения центра нужно знать определение серединного перпендикуляра и его свойство: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Также пригодятся свойства треугольников и умение строить перпендикулярные прямые циркулем и линейкой. Описанная окружность помогает решать задачи об элементах треугольника и понадобится при изучении вписанных углов. Поэтому полезно уметь не только чертить её, но и объяснять, почему найденная точка является центром.

Что запомнить

• Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника.
• Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин.
• Центр лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне треугольника.
• Для нахождения центра достаточно пересечь серединные перпендикуляры к двум сторонам.
• Через три вершины любого треугольника проходит единственная окружность.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.