74. Вписанная окружность

Определения и обозначения

Вписанная окружность угла — окружность, которая лежит внутри угла и касается обеих его сторон. Касание означает, что окружность и сторона имеют одну общую точку, а радиус к этой точке перпендикулярен стороне. Центр такой окружности находится внутри угла. Это определение помогает отличить касание от простого пересечения окружности со стороной.

Центр вписанной окружности — точка внутри угла, равноудалённая от его сторон. Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, а не по наклонному отрезку. Равенство этих расстояний позволяет определить, где искать центр. Для треугольника таким центром служит особая точка, связанная с биссектрисами.

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Центр окружности, касающейся сторон, расположен на биссектрисе. Поэтому биссектриса помогает построить окружность: достаточно выбрать на ней центр и определить радиус. В треугольнике биссектрисы помогают найти общий центр окружности.

Радиус вписанной окружности — отрезок, соединяющий центр с точкой окружности; при касании стороны он перпендикулярен этой стороне. Его длина равна расстоянию от центра до стороны. Это важно при построении: нужный радиус получают, опуская из центра перпендикуляр, а не проводя произвольный отрезок.

Как это устроено

Возьмём точку на биссектрисе угла и опустим из неё перпендикуляры на обе стороны. Получатся два прямоугольных треугольника: у них общий гипотенузный отрезок от вершины угла до выбранной точки, а прилегающие углы при вершине равны, потому что точка лежит на биссектрисе. Значит, треугольники равны, а их перпендикулярные катеты имеют одинаковую длину. Эти катеты и показывают расстояния от точки до сторон, поэтому расстояния равны.

Теперь представим окружность, касающуюся обеих сторон угла. Радиусы, проведённые из центра к точкам касания, перпендикулярны сторонам по свойству касательной. Оба отрезка являются радиусами одной окружности, поэтому они равны. Следовательно, центр находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. По свойству биссектрисы такая точка лежит на биссектрисе, значит, центр обязательно надо искать на ней.

Чтобы построить окружность, сначала проведи биссектрису угла. Выбери на ней точку внутри угла — она станет центром. Затем опусти из неё перпендикуляр на одну из сторон: расстояние до основания перпендикуляра будет радиусом. Проведи окружность с этим центром и радиусом. Поскольку выбранный центр равноудалён от обеих сторон, построенный радиус подходит не только к первой стороне.

Почему окружность касается и второй стороны? Перпендикулярное расстояние от центра до первой стороны мы взяли за радиус. Центр лежит на биссектрисе, поэтому расстояние до второй стороны такое же. Значит, и вторая сторона отстоит от центра ровно на радиус, а окружность касается её. Если бы расстояние было больше радиуса, сторона не дошла бы до окружности; если меньше — пересекла бы её.

В треугольнике проведи биссектрисы двух углов и обозначь их точку пересечения буквой I. Поскольку I лежит на биссектрисе первого угла, расстояния от неё до двух сторон этого угла равны. Второй угол даёт равенство расстояний до двух своих сторон. В итоге расстояния от I до всех трёх сторон треугольника одинаковы. Окружность с центром I и радиусом, равным этому общему расстоянию, касается всех трёх сторон.

Вписанная окружность: определения и свойства

В таблице можно сначала найти нужный объект, а затем посмотреть, какое свойство с ним связано. Для построения особенно полезно проследить цепочку: биссектриса — равные расстояния до сторон — радиус — касание. Если в задаче речь о треугольнике, ищи центр по пересечению биссектрис.

Разбор задач

Расстояния от точки на биссектрисе

Условие. Точка находится на биссектрисе угла и удалена от одной его стороны на 3 см. Найдите расстояние от точки до второй стороны. Чтобы решить задачу, не нужно знать величину угла или положение точки на биссектрисе: достаточно свойства расстояний до сторон.

1. Обозначим расстояние от точки до первой стороны через d₁, а до второй — через d₂. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.
2. Точка лежит на биссектрисе, поэтому d₁ = d₂. Это равенство следует из равенства прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами к сторонам.
3. По условию d₁ = 3 см. Подставляем это значение в равенство d₁ = d₂ и получаем d₂ = 3 см.

Ответ: расстояние до второй стороны равно 3 см. Равенство получено благодаря положению точки на биссектрисе, а не потому, что стороны угла имеют одинаковую длину.

Центр и построение вписанной окружности

Условие. В треугольнике проведены биссектрисы двух углов. Объясните, почему их точка пересечения равноудалена от всех трёх сторон, и постройте вписанную окружность. Для построения сначала нужно доказать, что расстояния до сторон равны, иначе нельзя утверждать, что одна окружность коснётся каждой стороны.

1. Обозначим точку пересечения биссектрис через I. Так как I лежит на биссектрисе первого угла, расстояния от неё до двух сторон этого угла равны.
2. Так как I лежит и на биссектрисе второго угла, расстояния до его сторон тоже равны. Одна из этих сторон уже учтена в первом равенстве, поэтому расстояния от I до всех трёх сторон одинаковы.
3. Опустим из I перпендикуляр на любую сторону и отметим его длину. С центром I проведём окружность радиусом, равным этой длине: до каждой стороны расстояние такое же.

Ответ: точка пересечения двух биссектрис — центр вписанной окружности. Третью биссектрису для построения проводить не обязательно: точка I уже равноудалена от всех трёх сторон.

Проверка касания всех сторон

Условие. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I. Из I опущен перпендикуляр ID на сторону AB. Докажите, что окружность с центром I и радиусом ID касается всех сторон треугольника. Нужно установить одинаковое расстояние от I до каждой стороны, а затем применить признак касания: если расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая касается окружности.

1. Точка I лежит на биссектрисе угла A, поэтому расстояния до AB и AC равны. Расстояние до AB равно ID, значит, расстояние до AC тоже равно ID.
2. Точка I лежит на биссектрисе угла B, поэтому расстояния до BA и BC равны. Расстояние до BA — это снова ID, следовательно, расстояние до BC равно ID.
3. Радиус окружности равен ID, а расстояния от I до AB, AC и BC тоже равны ID. Поэтому расстояние от центра до каждой стороны равно радиусу; перпендикуляр к каждой стороне достигает окружности в точке касания.

Ответ: окружность касается всех трёх сторон треугольника, значит, она является вписанной. В доказательстве важно использовать обе биссектрисы: первая связывает стороны AB и AC, вторая — AB и BC.

Типичные ошибки

Путать центр с пересечением медиан или высот. Медианы и высоты решают другие задачи, поэтому их пересечение не обязано быть равноудалённым от сторон. Такую ошибку допускают, потому что все эти линии проводят из вершин треугольника. Проверь себя: для центра вписанной окружности должны пересекаться биссектрисы, а не любые два отрезка или луча.

Измерять радиус наклонным отрезком. Кратчайшее расстояние от точки до прямой проходит по перпендикуляру, и именно такая длина является радиусом к стороне при касании. Наклонный отрезок может соединить центр с точкой стороны, но не показывает расстояние до неё. Проверь наличие прямого угла между радиусом и стороной.

Проводить окружность через вершины вместо касания сторон. Так получают описанную окружность, а не вписанную: окружность, проходящая через вершины, обычно не касается всех сторон. Ошибка возникает, если ориентироваться только на положение окружности внутри треугольника. Проверь определение: вписанная окружность имеет общую точку с каждой стороной, а не проходит через вершины.

Считать, что положения центра на биссектрисе достаточно для касания. Центр действительно равноудалён от сторон, но радиус можно выбрать любой, и тогда окружность не обязательно коснётся их. Нужно взять радиус, равный расстоянию от центра до стороны. Проверь себя: опусти перпендикуляр и сравни его длину с радиусом; только при равенстве возникает касание.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение биссектрисы, свойство равнобедренного треугольника и признак равенства прямоугольных треугольников: с их помощью объясняют равенство расстояний до сторон. Знание пригодится при построении вписанных окружностей и решении задач о расстояниях от точки до прямых или сторон треугольника. Позже эти идеи помогут изучать окружности и касательные, а также геометрические центры треугольника.

Что запомнить

• Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
• Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Вписанную окружность треугольника строят с центром в точке пересечения биссектрис.
• Радиус вписанной окружности равен расстоянию от её центра до любой стороны треугольника.