47. Вписанная окружность

Определения и обозначения

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается каждой его стороны. Это значит, что стороны многоугольника служат касательными к окружности, а её центр находится внутри фигуры. По этому определению можно проверить, подходит ли окружность: касания должны быть со всеми сторонами.

Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон многоугольника. Здесь речь идёт не о расстояниях до вершин: измеряют кратчайшие расстояния до прямых, на которых лежат стороны. Это понятие помогает определить, где нужно расположить окружность, чтобы она касалась сторон.

Радиус вписанной окружности — расстояние от её центра до стороны многоугольника. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому радиус проводят из центра под прямым углом к стороне. Так можно находить радиус, если известно расстояние от центра до любой стороны.

Точка касания — точка, в которой окружность касается стороны многоугольника. Радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен касательной, то есть стороне. Точки касания показывают, где окружность соприкасается с каждой стороной, и нужны при разборе отрезков касательных.

Как это устроено

Возьмём угол и окружность, которая касается обеих его сторон. Перпендикуляры, опущенные из центра окружности на стороны угла, являются радиусами: их концы лежат в точках касания. Поэтому оба перпендикуляра имеют одинаковую длину, а центр равноудалён от сторон угла. По свойству биссектрисы точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

В треугольнике центр вписанной окружности должен быть равноудалён от всех трёх сторон. Если точка лежит на биссектрисе одного угла, то расстояния от неё до двух сторон этого угла равны. Чтобы расстояния до сторон всего треугольника совпали, точка должна лежать также на биссектрисе другого угла. Значит, центр ищут как точку пересечения биссектрис.

Почему эта точка одновременно лежит на третьей биссектрисе? Точка пересечения биссектрис двух углов равноудалена от двух сторон первого угла и от двух сторон второго. У этих углов есть общая сторона, поэтому расстояния до двух остальных сторон тоже равны. Следовательно, точка равноудалена от сторон третьего угла, а значит, лежит на его биссектрисе.

Из этой точки опустим перпендикуляр к любой стороне треугольника и возьмём его длину за радиус. Поскольку точка равноудалена от всех сторон, перпендикуляры к ним имеют одинаковую длину. Окружность с таким центром и радиусом касается каждой стороны именно в основании перпендикуляра. Поэтому в любой треугольник можно вписать окружность.

Ещё одно полезное свойство касается касательных. Если из одной внешней точки провести к окружности две касательные, их отрезки до точек касания равны: прямоугольные треугольники с радиусами и этими отрезками имеют равные гипотенузы и равные радиусы, поэтому соответствующие отрезки касательных совпадают. В задачах точки касания делят стороны на части, и равные части, выходящие из одной вершины, можно обозначить одной буквой. Так получают равенства, связывающие длины сторон треугольника.

Вписанная окружность: основные понятия и свойства

Сначала определите, какие прямые или отрезки являются сторонами и касательными, а затем выберите подходящее свойство. Для радиуса используйте перпендикуляр, для положения центра — биссектрисы, а для длин касательных обязательно проверьте, что они выходят из одной точки.

Разбор задач

Задача 1. Центр вписанной окружности

В треугольнике проведены биссектрисы двух углов. Нужно объяснить, почему их точка пересечения является центром вписанной окружности. Обозначим точку пересечения через O. Отрезки, проведённые из O перпендикулярно к сторонам, измеряют расстояния от точки до этих сторон.

1. Так как O лежит на биссектрисе первого угла, расстояния от O до двух его сторон равны.
2. Точка O также лежит на биссектрисе второго угла, поэтому равны расстояния от неё до сторон этого угла.
3. У двух углов есть общая сторона, значит, полученные равенства показывают, что расстояния до всех трёх сторон треугольника одинаковы. Окружность с центром O и радиусом, равным этому расстоянию, касается каждой стороны.

Ответ: точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон и является центром вписанной окружности.

Задача 2. Расстояние до сторон

Радиус вписанной в треугольник окружности равен 3 см. Требуется найти расстояния от центра окружности до каждой стороны. Радиус соединяет центр с окружностью, а кратчайшее расстояние до стороны проходит по перпендикуляру.

1. Опустим из центра перпендикуляры на все три стороны.
2. Каждый перпендикуляр проведён к стороне в точку касания, поэтому его длина равна радиусу.
3. Подставим известную длину радиуса: каждое из расстояний равно 3 см.

Ответ: расстояние от центра до каждой стороны равно 3 см.

Задача 3. Касательные и отрезки сторон

Окружность касается двух сторон угла. Из точки на одной стороне к окружности проведены две касательные, одна из которых имеет известную длину. Нужно найти длину другой касательной и применить результат к сторонам треугольника. Числовое значение в условии не задано, поэтому обозначим известную длину буквой t.

1. Обе касательные проведены из одной точки к одной окружности, поэтому их длины равны.
2. Длина второй касательной тоже равна t. Если точка является вершиной треугольника, отрезки от неё до двух точек касания на прилегающих сторонах равны t.
3. Так же обозначают равные отрезки касательных из других вершин. Каждую сторону записывают как сумму двух частей между вершинами и точками касания, затем подставляют найденные равные отрезки.

Ответ: длина второй касательной равна t; длины частей сторон находят из равенств касательных и складывают части каждой стороны.

Типичные ошибки

Можно принять за радиус любой отрезок от центра до стороны, не проверив угол. Но радиус к точке касания перпендикулярен стороне, и именно такой отрезок задаёт расстояние до прямой. Проверьте, что отмечен прямой угол и конец радиуса лежит в точке касания.

Иногда биссектрису путают с медианой или высотой, потому что все эти линии проводят из вершины треугольника. Биссектриса делит угол пополам, медиана идёт к середине противоположной стороны, а высота перпендикулярна ей. Центр вписанной окружности находят по биссектрисам, а не по медианам или высотам.

Центру окружности приписывают равные расстояния до вершин треугольника. Так бывает не всегда: для вписанной окружности равны расстояния от центра до сторон, а не до вершин. Чтобы проверить себя, опустите из центра перпендикуляры именно на стороны и сравните их длины.

Нельзя приравнивать любые отрезки касательных, проведённых к одной окружности. Равны только две касательные, которые выходят из одной и той же точки; при разных начальных точках такого основания нет. Перед записью равенства отметьте общую точку, из которой проведены оба отрезка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое биссектриса и что любая её точка равноудалена от сторон угла. Также пригодятся понятия перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Свойство касательной и перпендикулярность радиуса в точке касания помогают объяснять, почему расстояние до стороны равно радиусу. Эти знания применяют в задачах на элементы треугольника и при изучении вписанных и описанных многоугольников.

Что запомнить

• Вписанная в многоугольник окружность касается всех его сторон.
• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон.
• Расстояние от центра до стороны равно радиусу и измеряется по перпендикуляру.
• В треугольнике центр окружности — точка пересечения биссектрис его углов.
• В любой треугольник можно вписать окружность.
• Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны.