"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Внутренние биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех трёх сторон, поэтому служит центром вписанной окружности — окружности, касающейся каждой стороны треугольника. Теорема помогает доказывать, что третья биссектриса проходит через уже найденную точку, строить вписанную окружность и решать задачи на углы и расстояния.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Если луч AX делит угол A на равные части, то ∠BAX = ∠XAC. Это определение позволяет узнавать биссектрису по равенству двух углов.
Внутренняя биссектриса треугольника — биссектриса его внутреннего угла, проходящая внутри треугольника. Например, биссектриса угла A начинается в вершине A и пересекает сторону BC. Она нужна для изучения точек, одинаково удалённых от сторон треугольника.
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Точка касания каждой стороны соединяется с центром окружности перпендикулярным радиусом. Поэтому расстояния от центра до всех сторон равны одному радиусу.
Центр вписанной окружности — точка пересечения внутренних биссектрис углов треугольника. Обычно её обозначают буквой I. Зная эту точку, можно построить вписанную окружность и найти её радиус как расстояние от I до любой стороны.
Пусть точка I лежит на биссектрисе угла A. Опустим из I перпендикуляры на стороны угла и обозначим их длины d₁ и d₂. Рассмотренные прямоугольные треугольники имеют общий катет, равные углы при вершине и прямые углы, поэтому они равны по катету и острому углу. Следовательно, d₁ = d₂: любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Внутренние биссектрисы углов A и B пересекаются внутри треугольника, поскольку каждая идёт от вершины к противоположной стороне через внутреннюю область. Обозначим точку пересечения I. На биссектрисе A точка I равноудалена от AB и AC, а на биссектрисе B — от BA и BC. Значит, два равных расстояния до общей стороны AB дают равенство расстояний от I до AC и BC.
Стороны AC и BC образуют угол C, а точка I имеет одинаковые расстояния до этих сторон. По обратному свойству биссектрисы точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Поэтому I лежит не только на биссектрисах A и B, но и на биссектрисе C.
Проведём из I перпендикуляр к стороне AB и возьмём полученную длину за радиус. Расстояния от I до AC и BC равны этой же длине, поэтому окружность с центром I касается всех трёх сторон. Обратно, центр окружности, касающейся двух сторон угла, равноудалён от них и потому лежит на биссектрисе; это объясняет связь окружности с биссектрисами.
Итак, внутренние биссектрисы всех углов треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения двух из них единственна, потому что две непараллельные прямые имеют не более одной общей точки, а третья биссектриса проходит через неё по доказанному свойству. Эта точка является единственным центром вписанной окружности.
Таблица показывает, как отдельное свойство точки на биссектрисе приводит к главному результату теоремы. Читая строки слева направо, удобно проследить переход от равенства расстояний к построению вписанной окружности.
| Объект или утверждение | Свойство | Следствие |
|---|---|---|
| Точка на биссектрисе угла | Равноудалена от сторон этого угла | Расстояния до сторон равны |
| Точка пересечения биссектрис углов A и B | Равноудалена от сторон AB, AC и BC | Лежит на биссектрисе угла C |
| Три внутренние биссектрисы треугольника | Пересекаются в одной точке | Имеют общую точку |
| Общая точка биссектрис | Равноудалена от всех сторон треугольника | Является центром вписанной окружности |
| Вписанная окружность | Касается каждой стороны треугольника | Её центр находится в точке пересечения биссектрис |
В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I. Докажите, что I лежит на биссектрисе угла C. Идея решения состоит в сравнении расстояний от I до сторон треугольника.
Ответ: I лежит на биссектрисе угла C. Следовательно, все три внутренние биссектрисы проходят через одну точку.
В треугольнике ABC углы A и B равны 50° и 70°. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I. Найдите угол AIB. Сначала нужно определить угол C, а затем использовать половины углов A и B.
Ответ: ∠AIB = 120°.
В треугольнике ABC проведены внутренние биссектрисы. Докажите, что окружность с центром в их общей точке и радиусом, равным расстоянию до стороны AB, касается всех трёх сторон. Обозначим общую точку биссектрис через I, а радиус окружности через r.
Ответ: окружность с центром I и радиусом r является вписанной в треугольник ABC.
Ошибка 1. Иногда доказывают только пересечение двух биссектрис и сразу называют точку общей для всех трёх. Две биссектрисы действительно задают точку, но нужно отдельно показать, что она равноудалена от сторон третьего угла. Проверка: в доказательстве должно появиться равенство расстояний до двух сторон этого угла.
Ошибка 2. Биссектрису путают с медианой или высотой, потому что все эти отрезки выходят из вершины. Биссектриса делит угол, медиана делит противоположную сторону пополам, а высота перпендикулярна этой стороне. Проверяйте именно признак объекта, а не только его положение на чертеже.
Ошибка 3. Расстоянием до стороны считают отрезок до любой точки этой стороны. В геометрии расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра к ней. Чтобы проверить себя, найдите у отрезка прямой угол со стороной.
Ошибка 4. Внешние биссектрисы принимают за линии, пересекающиеся внутри треугольника. Теорема относится к внутренним биссектрисам; внешние могут пересекаться вне треугольника и не дают центр вписанной окружности. Уточняйте, какой угол и какая область рассматриваются.
Для понимания теоремы нужны определение биссектрисы, признаки равенства треугольников и свойство равноудалённости точки от сторон угла. Она связана с окружностью, касательной и перпендикуляром, проведённым из центра к касательной. Позже теорема пригодится при изучении вписанной окружности, её радиуса, построений и задач на доказательство.
Почему для доказательства достаточно рассмотреть только две биссектрисы?
Две внутренние биссектрисы пересекаются в точке внутри треугольника. Если доказать, что эта точка равноудалена от всех трёх сторон, свойство биссектрисы покажет: она лежит и на биссектрисе третьего угла.
Как доказать, что точка пересечения двух биссектрис лежит на третьей?
Точка на биссектрисе угла A равноудалена от сторон AB и AC. Точка на биссектрисе угла B равноудалена от сторон BA и BC, поэтому расстояния до AC и BC оказываются равными. Значит, точка равноудалена от двух сторон угла C и лежит на его биссектрисе.
Что означает расстояние от точки до стороны треугольника?
Это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую сторону. Отрезок до произвольной точки стороны расстоянием до стороны не считается.
Почему из точки пересечения биссектрис можно построить вписанную окружность?
Центр этой точки равноудалён от всех сторон треугольника. Если взять это общее расстояние за радиус, перпендикуляры из центра к сторонам станут радиусами, а каждая сторона будет касательной к окружности.
Пересекаются ли внешние биссектрисы треугольника в той же точке?
Нет, внешние биссектрисы обычно пересекаются в других точках, расположенных вне треугольника. Центр вписанной окружности определяется именно пересечением внутренних биссектрис.
46. Теорема о пересечении биссектрис
