48. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Определения и обозначения

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через его середину и перпендикулярна ему. Например, серединный перпендикуляр к стороне AB проходит через середину AB под углом 90° к этой стороне. Его можно обозначить как прямую, перпендикулярную AB в её середине. Это название сразу подсказывает два условия, которые нужно проверить.

Точка равноудалена от концов отрезка, если расстояния от неё до обоих концов равны: для точки O это записывают OA = OB. Речь идёт о длинах отрезков, а не о расстоянии до всей прямой AB. Такое свойство помогает распознать, лежит ли точка на серединном перпендикуляре, и находить равные расстояния в задачах.

Окружность, описанная около треугольника, — окружность, проходящая через все три его вершины. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины, а это расстояние является радиусом окружности. Поэтому поиск центра описанной окружности можно свести к поиску точки, равноудалённой от вершин треугольника.

Как это устроено

Рассмотрим отрезок AB, его середину M и точку O на серединном перпендикуляре. Треугольники OMA и OMB прямоугольные, потому что OM перпендикулярен AB. У них общий катет OM, а вторые катеты равны: MA = MB, ведь M — середина отрезка. По равенству этих прямоугольных треугольников OA = OB, поэтому любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от A и B.

Верно и обратное: если OA = OB, то точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB. Чтобы увидеть причину, опустим из O перпендикуляр на AB и обозначим его основание M. В прямоугольных треугольниках OMA и OMB равны гипотенузы OA и OB, а катет OM общий. Значит, треугольники равны, откуда MA = MB; M — середина AB, а OM перпендикулярен AB.

Теперь возьмём треугольник ABC и проведём серединные перпендикуляры к двум его сторонам, например AB и AC. Они не параллельны: иначе AB и AC, будучи перпендикулярны одной прямой, оказались бы параллельны друг другу, хотя имеют общую вершину A. Поэтому серединные перпендикуляры пересекутся в точке O. По свойству каждой прямой получаем OA = OB и OA = OC.

Из двух равенств следует, что OA = OB = OC: точка O равноудалена от всех трёх вершин. Значит, окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, B и C. Точка O также лежит на серединном перпендикуляре к BC, потому что OB = OC и действует обратное свойство. Так доказывается, что все три серединных перпендикуляра имеют общую точку.

Это утверждение называют теоремой о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: они пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин и является центром описанной окружности. Рассуждение не требует, чтобы треугольник был остроугольным. У остроугольного треугольника центр находится внутри, у прямоугольного — на стороне (в середине гипотенузы), а у тупоугольного — вне треугольника.

Свойства серединного перпендикуляра и его роль в треугольнике

Читайте таблицу слева направо: сначала определите объект или известное свойство, затем используйте следствие. Обратите особое внимание на два взаимно обратных утверждения о равноудалённости. Именно они связывают свойства отдельного отрезка с центром окружности, описанной около треугольника.

Разбор задач

Точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Известно, что OA = 5 см. Найдите OB. Здесь не требуется строить треугольник или вычислять длины по формуле: положение O сразу позволяет применить свойство серединного перпендикуляра.

1. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB, она равноудалена от концов этого отрезка.
2. Записываем равенство расстояний: OA = OB.
3. Подставляем известное значение OA = 5 см, значит OB = 5 см.

Ответ: OB = 5 см. Проверка проста: оба отрезка должны иметь одинаковую длину, поскольку их концы — A и B, а точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB.

В треугольнике ABC точка O — пересечение серединных перпендикуляров к AB и AC. Докажите, что OA = OB = OC. Полезно не пытаться сразу сравнить все три расстояния: примените свойство каждой из двух прямых отдельно, а затем соедините полученные равенства.

1. O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому OA = OB.
2. O лежит и на серединном перпендикуляре к AC, поэтому OA = OC.
3. Из равенств OA = OB и OA = OC следует OA = OB = OC.

Доказано. Обратите внимание: в рассуждении использованы обе заданные прямые. Первая даёт равенство расстояний до A и B, вторая — до A и C, поэтому в результате учтены все три вершины.

В треугольнике ABC серединные перпендикуляры к AB и BC пересекаются в точке O. Докажите, что окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, B и C. Чтобы обосновать это, нужно показать, что расстояние от центра до каждой вершины одинаково и равно заданному радиусу.

1. Из принадлежности O серединному перпендикуляру к AB следует OA = OB.
2. Из принадлежности O серединному перпендикуляру к BC следует OB = OC.
3. По двум равенствам получаем OA = OB = OC. Окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, так как OA — её радиус; равенства показывают, что B и C находятся на том же расстоянии от O.

Доказано, что окружность проходит через все три вершины, а значит, она описана около треугольника ABC. В задачах такого типа проверяйте, что радиус равен расстоянию не только до одной, но и до каждой из остальных вершин.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что серединный перпендикуляр проходит через вершину треугольника. Его проводят через середину стороны и перпендикулярно самой стороне; вершина может не лежать на этой прямой. Путаница возникает из-за того, что рассматривают стороны треугольника, не проверяя определение. Для проверки отметьте середину нужного отрезка и прямой угол.

Ошибка: использовать только прямое свойство и забывать обратное. Из того, что точка лежит на серединном перпендикуляре, следует её равноудалённость, но при доказательстве принадлежности прямой нужно начать с равенства расстояний и применить обратное свойство. Обычно эти направления смешивают, потому что оба связаны с одним равенством. Проверьте, что именно дано в задаче и какое утверждение требуется получить.

Ошибка: считать, что одной стороны достаточно, чтобы определить центр описанной окружности. Серединный перпендикуляр только к одной стороне гарантирует равные расстояния до двух её концов, но ничего не говорит о третьей вершине. Чтобы подтвердить, что окружность проходит через все вершины, нужны равенства расстояний до всех трёх. Проверьте, охвачена ли доказательством каждая вершина.

Ошибка: утверждать, что точка пересечения всегда находится внутри треугольника. Такое положение бывает у остроугольного треугольника, но у тупоугольного центр описанной окружности лежит вне него. Ошибку вызывает перенос рисунка одного вида на все треугольники. Проверяйте не только расположение точки, но и её главное свойство — равенство расстояний до вершин.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия перпендикулярных прямых, середины отрезка, окружности и её центра. Доказательство свойства серединного перпендикуляра можно строить с помощью равенства прямоугольных треугольников или свойств равнобедренного треугольника: равные расстояния до концов образуют равные боковые стороны. В дальнейшем теорема помогает находить центр и радиус описанной окружности. То же рассуждение полезно в задачах, где требуется определить точку, равноудалённую от нескольких заданных точек.

Что запомнить

• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.
• Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения равноудалена от всех вершин треугольника.
• Эта точка является центром описанной около треугольника окружности.
• Центр описанной окружности может лежать внутри треугольника, на его стороне или вне его.