"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вектор — геометрический объект, который задаётся длиной и направлением. Его изображают направленным отрезком: у такого отрезка отмечены начало и конец, поэтому порядок букв в обозначении имеет значение. Один вектор можно нарисовать в разных местах, если сохранить длину и направление. Векторы помогают описывать перемещения и понадобятся при изучении сложения и вычитания, а также геометрических преобразований.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними: AB⃗ означает, что начало находится в A, а конец — в B. Такой порядок позволяет понять, в какую сторону направлен отрезок, поэтому AB⃗ и BA⃗ — не одно и то же.
Вектор — геометрический объект, который задаётся длиной и направлением. Направленный отрезок изображает вектор, а сам вектор можно обозначить одной строчной буквой со стрелкой, например a⃗. Это обозначение удобно, когда речь идёт о векторе независимо от того, в какой точке его нарисовали.
Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его обозначают 0⃗; изображающий его направленный отрезок имеет вид AA⃗. Это особый случай: такой вектор существует, хотя его длина равна нулю.
Равные векторы — векторы, у которых одинаковы длина и направление. Их изображающие направленные отрезки могут начинаться в разных точках. Это определение позволяет сравнивать векторы, даже если на чертеже они расположены отдельно.
Если задать только длину, нельзя однозначно описать перемещение: можно пройти такое расстояние вправо, влево или в любом другом направлении. Поэтому для задания вектора нужны и длина, и направление. Начало и конец направленного отрезка помогают показать направление стрелкой, а расстояние между ними задаёт длину. Так различаются, например, отрезки AB⃗ и BA⃗: их длины одинаковы, но направления противоположны.
Направленный отрезок задаёт вектор через свои длину и направление, а не через конкретное место на чертеже. Представь, что отрезок сдвинули параллельно, не растягивая и не поворачивая: его начало и конец поменяли положение, но длина и направление сохранились. Поэтому новый направленный отрезок изображает тот же вектор. Это позволяет рисовать один вектор в любой удобной точке и сравнивать изображения, расположенные отдельно.
Длина вектора — это длина направленного отрезка, который его изображает. Если вектор обозначен a⃗, его длину записывают |a⃗|; для AB⃗ можно также написать |AB⃗|. Такая запись отделяет величину длины от самого вектора: вектор содержит сведения и о длине, и о направлении, а его длина — только числовая величина. При переносе изображения вектора длина остаётся прежней.
Когда начало и конец направленного отрезка совпадают, между ними нет расстояния. Поэтому изображённый таким образом вектор имеет длину ноль и называется нулевым; его обозначают 0⃗. Нулевой вектор выделяют отдельно, чтобы учитывать случай, когда перемещения не произошло. У него нет определённого направления: стрелка с совпавшими концами не показывает, куда двигаться.
Чтобы проверить равенство двух векторов, сравнивают сразу два свойства: длины и направления. Одинаковая длина без совпадения направления недостаточна, а одинаковое направление без равной длины тоже не даёт равенства. Начальные точки сравнивать не нужно, потому что вектор можно перенести параллельно, сохранив его свойства. Значит, разные по расположению изображения могут задавать равные векторы.
| Понятие | Что характеризует | Как распознать или обозначить |
|---|---|---|
| Направленный отрезок | Отрезок с заданными началом и концом | Две заглавные буквы со стрелкой, например AB⃗ |
| Вектор | Длину и направление | Строчная буква со стрелкой, например a⃗ |
| Длина вектора | Расстояние между началом и концом изображения | |a⃗| или |AB⃗| |
| Нулевой вектор | Вектор с совпадающими началом и концом | 0⃗; длина равна нулю |
| Равные векторы | Одинаковые длину и направление | Начальные точки могут различаться |
Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, о каком объекте идёт речь, а затем проверь его признаки и обозначение. При сравнении векторов отдельно сопоставляй длину и направление. Совпадение расположения на чертеже не является обязательным условием.
На рисунке отмечены точки A и B. Назовите направленный отрезок с началом A и концом B и соответствующий ему вектор. В условии уже задано, какая точка является началом, поэтому переставлять буквы нельзя. Нужно различить обозначение самого направленного отрезка и обозначение вектора.
Ответ: направленный отрезок — AB⃗; соответствующий ему вектор — AB⃗ (или a⃗, если он обозначен этой буквой).
Даны направленные отрезки AB⃗ и CD⃗ одинаковой длины и направления. Определите, равны ли соответствующие векторы. Точки A и C могут находиться в разных местах, но это само по себе не мешает равенству. Проверим признаки по определению, не добавляя условия о совпадении начал.
Ответ: векторы AB⃗ и CD⃗ равны.
На чертеже изображены несколько направленных отрезков, в том числе AA⃗. Укажите равные векторы и определите длину нулевого вектора. Чтобы назвать конкретные пары, на чертеже нужно сравнить длину каждого отрезка и направление его стрелки; без остальных данных рисунка перечислить такие пары нельзя. Однако отрезок AA⃗ можно распознать независимо от них.
Ответ: равными являются пары с одинаковыми длинами и направлениями; длина нулевого вектора AA⃗ равна 0.
Ошибка: считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Её допускают, когда сравнивают отрезки и не учитывают стрелки. Векторы равны только при совпадении и длины, и направления. Проверь себя: если одна стрелка указывает в противоположную сторону, векторы не равны.
Ошибка: требовать общей начальной точки. На чертеже векторы могут быть нарисованы в разных местах, и это создаёт впечатление, будто они не совпадают. Но равенство определяется длиной и направлением, а не положением. Проверь, можно ли совместить изображения параллельным переносом, не меняя их длину и направление.
Ошибка: путать порядок букв. При чтении обозначения иногда смотрят только на названия концов, забывая, где начало. В AB⃗ движение идёт от A к B, а в BA⃗ — от B к A. Чтобы проверить себя, проследи путь по стрелке от первой буквы ко второй.
Ошибка: считать нулевой вектор несуществующим. Поскольку отрезок AA⃗ не имеет обычной длины, его могут принять за отсутствие объекта. Но нулевой вектор определён: его начало и конец совпадают, а длина равна нулю. Проверь себя по обозначению 0⃗ и по совпадению концов, а не по наличию заметного отрезка.
Для изучения векторов нужны знакомые понятия: отрезок, его концы и длина, а также умение определять направление на чертеже. Эти знания помогают прочитать обозначение и понять, что показывает стрелка. Позже векторы используют при сложении и вычитании: длина и направление помогают описывать результат нескольких перемещений. Понятие также понадобится при решении задач на геометрические преобразования.
Чем вектор отличается от обычного отрезка?
У обычного отрезка важны его концы и длина, а у вектора — длина и направление. Направленный отрезок с началом и концом служит изображением вектора.
Почему равные векторы могут начинаться в разных точках?
Для равенства достаточно одинаковых длины и направления. Начальный пункт можно переместить, не меняя этих двух свойств.
Как обозначают вектор и его длину?
Вектор обозначают строчной буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя заглавными буквами со стрелкой над ними, например AB⃗. Длину вектора a⃗ записывают как |a⃗|.
Может ли нулевой вектор иметь направление?
Нулевой вектор определяют как вектор с совпадающими началом и концом, а его длина равна нулю. У такого вектора нет определённого направления, потому что его изображающий отрезок не указывает ни в одну сторону.
Как проверить по рисунку, равны ли два вектора?
Сравните длины изображающих их направленных отрезков, а затем проверьте, совпадают ли направления стрелок. Совпадение начальных точек для равенства не требуется.
§ 1. Понятие вектора
