1.1. Понятие вектора

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, для которого указаны начало и конец. Его обозначают стрелкой над буквами: \(\overrightarrow{AB}\), где A — начало, а B — конец. Такое обозначение помогает отличать отрезок с выбранным направлением от обычного отрезка.

Вектор — направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до положения в пространстве. Его задают длина и направление, а не место, где он изображён. Это позволяет описывать одно и то же перемещение, не привязывая его к конкретной точке.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Их начала могут находиться в разных точках, и изображающие их отрезки могут не совпадать. Такое определение позволяет узнавать один и тот же вектор в разных местах чертежа.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; его обозначают \(\vec{0}\). Его длина равна нулю, поскольку отрезок между совпадающими точками имеет нулевую длину. Это понятие нужно, чтобы обозначать отсутствие перемещения.

Как это устроено

Обычный отрезок показывает только расстояние между двумя точками: по нему нельзя узнать, в какую сторону происходит перемещение. У направленного отрезка к длине добавляют указание начала и конца. Поэтому один и тот же по длине отрезок может изображать разные векторы, если стрелки направлены по-разному. При изучении перемещений это различие необходимо: пройти расстояние вправо и пройти такое же расстояние влево — не одно и то же.

Запись \(\overrightarrow{AB}\) читают с учётом порядка букв: сначала стоит начало A, затем конец B. Длина этого вектора равна длине отрезка AB и обозначается как длина отрезка AB. Переставив буквы, мы поменяем начало с концом, то есть зададим противоположное направление. Такая запись сразу сообщает и о длине изображающего отрезка, и о том, куда он направлен.

Равные векторы могут быть нарисованы в разных частях чертежа, потому что вектор не зависит от положения изображающего его отрезка. Если длины совпадают и направления одинаковы, перемещение, описываемое этими отрезками, одно и то же. Сравнивать нужно именно эти два свойства, а не то, соприкасаются ли отрезки или имеют ли они общую точку. Благодаря этому вектор можно перенести на чертеже, сохранив его смысл.

Нулевой вектор распознают по совпадению начала и конца: вместо отрезка с ненулевой длиной получается точка. Длина такого вектора равна нулю, а направление не определяется. Направление показывает, куда ведёт перемещение, но при совпавших начале и конце перемещения нет. Поэтому к нулевому вектору нельзя приписать конкретную сторону или направление.

Направленные отрезки дают наглядные изображения векторов, но сам вектор можно отложить от любой точки пространства. При таком переносе длину и направление сохраняют, меняется только положение отрезка. Если новый отрезок начинается в выбранной точке и имеет те же длину и направление, он изображает тот же вектор. Это свойство называют свободным перемещением вектора и используют, чтобы удобно строить вектор на чертеже.

Сравнение основных понятий о векторах

Таблица помогает отличить изображающий отрезок от самого вектора: у первого важны заданные концы, у второго — длина и направление. Чтобы проверить равенство векторов, сверяйте сразу оба свойства. Нулевой вектор ищите по совпадению его начала и конца.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B, направленный отрезок ведёт от A к B. Требуется записать обозначение изображённого вектора и указать его начало и конец. Сначала определим, откуда начинается стрелка и куда она указывает.

1. Начало стрелки расположено в точке A, поэтому первой в обозначении будет буква A.
2. Конец стрелки расположен в точке B, поэтому второй будет буква B; запись вектора — \(\overrightarrow{AB}\).
3. Проверяем порядок букв: он соответствует движению от начала к концу.

Ответ: \(\overrightarrow{AB}\); начало — A, конец — B.

Задача 2

Даны направленные отрезки AB и CD. Известно, что длины отрезков AB и CD равны и направлены они одинаково. Нужно выяснить, равны ли соответствующие векторы. Поскольку одного совпадения длин недостаточно, проверим оба условия равенства.

1. Сравниваем длины: по условию они равны.
2. Сравниваем направления: по условию отрезки сонаправлены, то есть стрелки указывают в одну сторону.
3. Оба условия выполнены, поэтому векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны, даже если точки A и C различны.

Ответ: да, векторы равны, так как имеют одинаковые длины и направления.

Задача 3

На чертеже изображено несколько направленных отрезков, среди них AA. Нужно найти равные векторы и указать нулевой. Чтобы не спутать положение отрезков с самим вектором, будем сравнивать длины и направления, а затем отдельно проверим совпадение концов.

1. Отрезок AA начинается и заканчивается в одной точке, значит, изображённый им вектор нулевой: \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\).
2. Для остальных векторов составляем группы: в одну группу попадают только отрезки равной длины, стрелки которых направлены одинаково.
3. Отрезки с общим началом не объявляем равными автоматически; каждый кандидат проверяем по обоим свойствам, независимо от его положения.

Ответ: нулевой вектор — \(\overrightarrow{AA}\); равны все пары изображённых векторов, у которых совпадают длины и направления. Чтобы назвать конкретные пары, необходимо сверить их с чертежом.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что равные векторы обязательно имеют общее начало. Так рассуждают, потому что смешивают сам вектор с конкретным отрезком на чертеже. Проверьте себя: мысленно перенесите один отрезок параллельно, не меняя длину и направление; вектор останется тем же.

Ошибка: признавать векторы равными только по равенству длин. Длина заметна на рисунке, поэтому направление легко упустить. Для проверки сравните, куда указывают стрелки: если они направлены по-разному, векторы не равны.

Ошибка: переставлять буквы в обозначении \(\overrightarrow{AB}\), полагая, что порядок неважен. Буквы задают начало и конец, поэтому \(\overrightarrow{BA}\) направлен противоположно. Перед записью проследите путь от первой точки ко второй.

Ошибка: приписывать нулевому вектору определённое направление. Его начало и конец совпадают, и отрезок не указывает, куда перемещаться. Самопроверка проста: если в обозначении обе точки одинаковы, длина равна нулю, а направление не задаётся.

Связь с другими темами

Для начала работы с векторами нужны понятия точки, отрезка и длины отрезка; также важно уметь различать направления в пространстве. Эти знания позволяют читать запись направленного отрезка и сравнивать изображения. Позже понятие вектора понадобится при изучении сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число и координат в пространстве. Во всех этих темах сохраняется основная идея: вектор задаётся длиной и направлением, а не местом изображения.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Вектор \(\overrightarrow{AB}\) направлен от A к B.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Положение изображающего вектор отрезка не влияет на сам вектор.
• Начало и конец нулевого вектора совпадают.
• Длина нулевого вектора равна нулю.