§ 1. Понятие вектора в пространстве

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок с отмеченными началом и концом. Запись \(\overrightarrow{AB}\) означает, что A — начало, а B — конец; порядок букв задаёт, в какую сторону направлен отрезок. Такое обозначение позволяет отличить перемещение от A к B от перемещения в обратную сторону.

Вектор — направленный отрезок, который рассматривают с точностью до положения в пространстве. Его задают длина и направление: изображающий отрезок можно переместить, если эти характеристики сохраняются. Поэтому вектор удобно использовать для описания перемещения, не привязывая его к конкретному месту.

Длина вектора — длина любого направленного отрезка, изображающего этот вектор. Её обозначают |\(\vec a\)| или |\(\overrightarrow{AB}\)|. Поскольку все изображения одного вектора имеют одинаковую длину, достаточно измерить любое из них.

Нулевой вектор изображается направленным отрезком, у которого начало и конец совпадают, и обозначается \(\vec 0\). Его длина равна нулю. Это обозначение нужно, чтобы учитывать отсутствие перемещения в тех же рассуждениях, где используются обычные векторы.

Как это устроено

В пространстве вектор, как и на плоскости, удобно задавать направленным отрезком. У отрезка есть два конца, и выбор начального конца определяет, откуда и куда направлено перемещение. Если поменять концы местами, получится уже другое направление. Поэтому порядок букв в обозначении не декоративен: он помогает однозначно прочитать вектор.

Один и тот же вектор можно изобразить в разных местах пространства, потому что положение отрезка не входит в его определение. Представим стрелку, которую передвинули параллельно самой себе: её длина и направление остались прежними, хотя начальная точка изменилась. Вектор при этом сохраняется. Такое представление позволяет переносить его туда, где удобнее выполнять построение или сравнение.

Векторы равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Сонаправленность означает, что стрелки направлены в одну сторону, а не навстречу друг другу. Проверка только длины недостаточна: стрелки одинакового размера могут смотреть в разные стороны. Начала равных векторов, напротив, не обязаны совпадать, поскольку сравнивают характеристики вектора, а не положение его изображения.

Записи \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) указывают на один и тот же отрезок, но задают противоположные направления. В первом случае движение начинается в A и заканчивается в B, во втором — начинается в B и заканчивается в A. Поэтому эти обозначения нельзя считать взаимозаменяемыми. Чтобы не ошибиться, сначала прочитайте первую букву как начало, а вторую — как конец.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, так что изображающий его отрезок не показывает направления перемещения. Тем не менее его рассматривают как вектор: он нужен, чтобы обозначить перемещение нулевой длины и включить этот случай в общие рассуждения. Для него определена длина, равная нулю, но нельзя выбрать направление по стрелке. Это отличает нулевой вектор от вектора ненулевой длины.

Основные понятия о векторах в пространстве

В таблице удобно сначала найти способ задания вектора, а затем проверить длину и направление. Для сравнения двух ненулевых векторов используйте обе характеристики, а не только размер стрелок. Строка о нулевом векторе напоминает, что совпавшие концы означают длину ноль, а не особое направление.

Разбор задач

Задача 1. Для точек A и B изобразить вектор \(\overrightarrow{AB}\) и указать его начало, конец и длину. Важно прочитать обозначение слева направо: так определяется, куда должна смотреть стрелка. Обозначение не задаёт численное значение длины, если координаты или измерения отрезка не приведены. Поэтому длину можно указать как длину отрезка AB.

1. Найдите на чертеже точки A и B и проведите отрезок между ними.
2. Поставьте стрелку от A к B: это направление \(\overrightarrow{AB}\).
3. Назовите начало A, конец B, а длину запишите как |\(\overrightarrow{AB}\)| или AB.

Ответ: начало — A, конец — B, длина — AB.

Задача 2. Два направленных отрезка одинаковой длины и направления расположены в разных местах пространства. Нужно решить, изображают ли они равные векторы. Расположение может отвлекать: отрезки не обязаны лежать на одной прямой или иметь общий конец. Сравнивать надо не их места на чертеже, а две характеристики вектора.

1. Убедитесь, что длины отрезков равны.
2. Сравните направления стрелок: они должны смотреть в одну сторону.
3. Не учитывайте различие начальных точек, если длина и направление совпадают.

Ответ: да, отрезки изображают равные векторы, если они одинаковы по длине и сонаправлены.

Задача 3. Известно, что \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), и по чертежу нужно определить точку D или проверить возможность равенства. Равенство означает, что второй вектор должен повторить длину и направление первого, а не просто соединить какие-либо две точки. Удобно мысленно перенести отрезок AB так, чтобы его начало оказалось в C. Конец перенесённой стрелки и задаёт положение D.

1. Отметьте направление от A к B и длину AB.
2. Из точки C отложите отрезок той же длины, направленный так же, как AB.
3. Назовите его конец точкой D и проверьте, что отрезок CD не направлен обратно.
4. Если условия чертежа не позволяют получить такой конец, равенство выполнить нельзя.

Ответ: D — конец перенесённого из C вектора \(\overrightarrow{AB}\); равенство возможно, если CD имеет ту же длину и направление.

Типичные ошибки

• Считать вектором только отрезок в одном месте. Так происходит, если вектор смешивают с его изображением. Но изображение можно параллельно перенести, сохранив длину и направление. Проверьте себя: если стрелку передвинули, но её характеристики не изменились, это всё ещё тот же вектор.

• Считать равными любые векторы одинаковой длины. При сравнении часто замечают размер стрелок и забывают, куда они направлены. Для равенства нужны и равные длины, и сонаправленность. Проверьте обе характеристики отдельно.

• Путать \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\). Одинаковые буквы могут навести на мысль, что меняется только запись. На самом деле перестановка начала и конца обращает направление. Прочитайте обозначение по порядку: первая точка — старт, вторая — финиш.

• Приписывать нулевому вектору направление. Иногда направление пытаются определить по совпавшим точкам, но стрелки, указывающей сторону, здесь нет. У нулевого вектора длина равна нулю, а направление не задаётся. Для самопроверки убедитесь, что начало и конец совпадают.

Связь с другими темами

Перед изучением векторов нужно различать отрезок, его длину и направление, а также уверенно находить точки и прямые в пространстве. Это позволит читать чертёж и не смешивать длину отрезка с направлением вектора. Дальше понятие вектора понадобится для сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число и изучения координат. В геометрии и на практике векторами описывают перемещения и взаимное расположение объектов.

Что запомнить

• Вектор изображают направленным отрезком.
• Вектор задаётся длиной и направлением, а не местом изображения.
• Равные векторы имеют равные длины и одинаковые направления.
• В записи \(\overrightarrow{AB}\) точка A — начало, точка B — конец.
• При перестановке начала и конца направление меняется.
• Длина нулевого вектора равна нулю.