3.3. Элементы симметрии правильных многогранников

Определения и обозначения

Ось симметрии правильного многогранника — прямая, при вращении вокруг которой на некоторый угол многогранник совмещается сам с собой. Ось помогает описать, какие повороты сохраняют фигуру, а не просто указывает направление через её центр. Например, ось может проходить через вершины или через другие характерные элементы.

Порядок оси симметрии — число совмещений многогранника с самим собой за полный оборот вокруг этой оси. Его обозначают числом n; наименьший угол поворота, возвращающий фигуру в совпадающее положение, равен 360° / n. Это позволяет сравнивать оси по числу повторяющихся положений.

Плоскость симметрии — плоскость, при отражении относительно которой многогранник совмещается сам с собой. Она делит фигуру на части, которые соответствуют друг другу зеркально. По этому признаку можно проверить, действительно ли выбранная плоскость сохраняет весь многогранник.

Центр симметрии — точка, относительно которой центральная симметрия переводит многогранник в себя. При таком преобразовании каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону от центра на таком же расстоянии. Понятие нужно, чтобы отличать центральную симметрию от поворота или отражения в плоскости.

Как это устроено

Расположение вершин, рёбер и граней подсказывает, где искать оси вращения. Например, прямая через две противоположные вершины может быть осью, если вращение вокруг неё переставляет остальные элементы так, что многогранник совпадает с исходным. Другие возможные направления проходят через центры противоположных граней или середины противоположных рёбер. Само прохождение через такие элементы ещё не доказывает симметрию: нужно проверить действие поворота на всю фигуру.

Порядок оси считают по повторяющимся положениям за полный оборот, потому что именно число таких положений показывает, сколько раз фигура возвращается к совпадению при вращении. Если ось имеет порядок n, полный угол 360° разбивается на n одинаковых наименьших поворотов. Поэтому угол равен 360° / n: например, для порядка 4 это 90°, а для порядка 3 — 120°. Порядок — целое число, а угол является мерой поворота, поэтому смешивать эти величины нельзя.

Плоскость симметрии должна отражать каждую часть фигуры в соответствующую ей часть по другую сторону. Вершина может перейти в вершину, ребро — в ребро, грань — в грань; иногда отдельные элементы остаются на месте, если лежат в плоскости. Положение подходящей плоскости зависит от того, как в многограннике размещены все эти элементы. Поэтому плоскость, проходящая через центр или несколько вершин, не обязательно окажется плоскостью симметрии.

Центр симметрии существует только тогда, когда центральное отражение сохраняет весь многогранник и переводит его элементы в подходящие пары. У куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра такой центр есть: каждая точка фигуры переходит в соответствующую точку с противоположной стороны. У тетраэдра вершины не образуют нужных противоположных пар. Поэтому нельзя заключать о наличии центра только по тому, что у фигуры есть геометрический центр.

Количество осей и плоскостей связано с тем, сколько одинаковых элементов имеет многогранник и как они расположены относительно друг друга. Симметричные вершины, рёбра и грани переходят друг в друга при преобразованиях, сохраняющих фигуру. Поэтому у многогранников с разным устройством наборы элементов симметрии различаются, а у некоторых пар, например куба и октаэдра, совпадают по количеству. Табличные данные — результат учёта всех допустимых преобразований, а не подсчёта любых прямых и плоскостей через центр.

Элементы симметрии правильных многогранников

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выбери многогранник, а затем прочитай количество осей отдельно для каждого порядка. Для оси порядка n можно сразу найти наименьший угол поворота: 360° / n. Сравнение строк показывает, что у куба и октаэдра, а также у додекаэдра и икосаэдра количества осей и плоскостей совпадают.

Разбор задач

Оси правильного тетраэдра, проходящие через вершины

Условие. У правильного тетраэдра найдите оси симметрии, проходящие через вершины, и укажите их порядок. Нужно не только посчитать направления, но и понять, какой поворот сохраняет фигуру. Рассмотрим одну вершину и противоположную ей грань.

1. У правильного тетраэдра четыре вершины, и через каждую проходит прямая, соединяющая её с центром противоположной грани. Эти четыре прямые являются кандидатами на оси данного типа.
2. При вращении вокруг такой прямой выбранная вершина остаётся на месте. Три вершины противоположной грани переставляются между собой, а вместе с ними переставляются и грани тетраэдра.
3. Три положения равномерно распределены по полному обороту: поворот на 120° переводит тетраэдр в себя, как и поворот на 240°. Значит, за 360° получается три совмещения, то есть порядок оси равен 3.

Ответ: четыре оси, проходящие через вершины и центры противоположных граней; каждая имеет порядок 3.

Оси куба через центры противоположных граней

Условие. Определите число осей симметрии куба, проходящих через центры противоположных граней, и порядок каждой. У куба шесть граней, но ось задаётся парой противоположных граней. Поэтому сначала считаем пары, а затем проверяем поворот вокруг одной такой оси.

1. У каждой грани есть ровно одна противоположная ей грань. Шесть граней образуют три пары, значит, имеется три прямые, проходящие через центры этих пар.
2. При повороте куба вокруг такой прямой его верхняя и нижняя грани остаются на местах, а четыре боковые грани переходят одна в другую. Наименьший сохраняющий поворот составляет 90°.
3. За полный оборот куб совпадает с исходным после поворотов на 0°, 90°, 180° и 270°. Получаются четыре совпадающих положения, следовательно, порядок каждой из трёх осей равен 4.

Ответ: 3 оси, каждая порядка 4.

Сравнение додекаэдра и икосаэдра

Условие. Установите, совпадают ли у додекаэдра и икосаэдра количества осей каждого порядка и плоскостей симметрии. Сравнивать нужно отдельно оси порядка 2, 3 и 5, а затем плоскости. Двойственность этих многогранников означает, что вершины одного соответствуют граням другого, но вывод о числах проверим по данным таблицы.

1. Для додекаэдра указаны 10 осей порядка 3, 6 порядка 5 и 15 порядка 2. Записываем эти числа по порядкам, чтобы при сравнении не перепутать группы.
2. У икосаэдра те же значения: 10 осей порядка 3, 6 порядка 5 и 15 порядка 2. Значит, совпадает количество осей каждого из трёх порядков, хотя сами оси связаны с разными элементами двух многогранников.
3. В таблице для каждого из них указано по 15 плоскостей симметрии. Следовательно, совпадает и это количество; у обоих многогранников также есть центр симметрии.

Ответ: да, количества осей каждого порядка и плоскостей симметрии совпадают: соответственно 10, 6 и 15 осей, а также 15 плоскостей.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать порядком оси угол поворота. Её допускают, потому что порядок и угол связаны формулой 360° / n, но это разные величины: порядок целый, а угол измеряется в градусах. Проверь себя: если получен порядок 4, наименьший угол должен быть 90°, а не 4°.

Вторая ошибка — называть осью симметрии любую прямую через центр многогранника. Через центр можно провести множество прямых, но большинство из них при вращении не сохранят расположение вершин и граней. Проверка простая: выполни мысленный поворот и выясни, совпадают ли все элементы, а не только центр фигуры.

Третья ошибка — принимать за плоскость симметрии любую плоскость, проходящую через центр. Причина в том, что центр кажется достаточным условием, хотя отражение может отправить вершины и грани в положения, которых в многограннике нет. Отрази фигуру целиком и проверь, найдётся ли для каждой её части зеркально соответствующая часть.

Четвёртая ошибка — приписывать тетраэдру центр симметрии по аналогии с другими правильными многогранниками. Центр фигуры сам по себе не гарантирует центральной симметрии: вершины должны переходить в противоположные вершины. У тетраэдра подходящих пар нет, поэтому центральное отражение не сохраняет его; этим и проверяется ответ.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужно знать, что такое правильный многогранник, его грани, рёбра и вершины, а также осевая и центральная симметрия. Эти понятия позволяют описывать, какие части фигуры переходят друг в друга при преобразовании. Далее симметрия пригодится при изучении преобразований пространства, пространственных фигур и взаимного расположения элементов многогранников. Она помогает решать задачи не только о форме фигуры, но и о том, как её части размещены относительно друг друга.

Что запомнить

• Ось симметрии задаёт поворот, совмещающий многогранник с собой.
• Порядок оси — число совмещений за полный оборот.
• Наименьший угол поворота для оси порядка n равен 360° / n.
• Плоскость симметрии задаёт отражение многогранника в себя.
• У тетраэдра нет центра симметрии.
• У куба и октаэдра совпадают количества осей каждого порядка и плоскостей симметрии.
• У додекаэдра и икосаэдра также совпадают количества осей каждого порядка и плоскостей симметрии.