37. Элементы симметрии правильных многогранников

Определения и обозначения

Ось симметрии правильного многогранника — прямая, вокруг которой его поворот на некоторый угол меньше полного оборота переводит многогранник в себя. Число равных положений тела за полный оборот называется порядком оси. Например, для оси четвёртого порядка наименьший угол поворота равен 360° / 4 = 90°.

Плоскость симметрии — плоскость, при отражении относительно которой многогранник совмещается сам с собой. Она делит тело на части, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Это определение помогает проверить, действительно ли предполагаемая плоскость сохраняет все грани, рёбра и вершины.

Центр симметрии — точка, относительно которой каждой точке многогранника соответствует симметричная ей точка многогранника. Такая симметрия равносильна центральному отражению: центр является серединой отрезка между соответствующими точками. Понятие нужно, чтобы выяснить, может ли тело целиком перейти в себя при таком отражении.

Как это устроено

Симметрию многогранника ищут по тому, как расположены его равные грани, вершины и рёбра. Поворот или отражение может переставить эти элементы местами, но не должно менять форму тела или нарушать их соединение. Поэтому недостаточно увидеть отдельные совпадающие элементы: преобразование обязано сохранить весь многогранник.

Ось часто проходит через особенно расположенные элементы тела. Это могут быть противоположные вершины, центры противоположных граней или середины противоположных рёбер. Такое направление удобно проверять, потому что при вращении элементы вокруг него переходят в равные элементы. Но само прохождение через центр или через характерные точки ещё не доказывает, что прямая является осью: нужно проверить поворот.

Порядок оси показывает, сколько одинаковых положений многогранник занимает за полный оборот вокруг неё. Если наименьший совмещающий поворот равен α, то за 360° укладывается 360° / α таких поворотов. Например, поворот на 120° даёт три одинаковых положения, значит, ось имеет третий порядок. Именно поэтому порядок связан с углом наименьшего поворота, а не совпадает с величиной угла.

Плоскость симметрии делит тело на две зеркально соответствующие части. При отражении вершины по одну сторону переходят в подходящие вершины по другую, а рёбра и грани также должны найти себе соответствия. Положение плоскости можно распознавать по тому, проходит ли она через вершины или рёбра, делит ли грани пополам либо меняет местами равные грани. Проверка всех элементов не позволяет ошибочно принять за плоскость симметрии произвольный разрез.

У куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра есть центр симметрии: отражение относительно центра переводит каждую вершину в противоположную вершину. У тетраэдра такого соответствия нет. Для центрального отражения вершины должны составлять пары, а у тетраэдра четыре вершины расположены так, что каждой невозможно подобрать противоположную вершину, с которой центр был бы серединой соединяющего отрезка.

Элементы симметрии правильных многогранников

Чтобы сравнить тела, сначала найдите в таблице порядки осей, затем сложите их количества и сверьте сумму с числом в столбце «Всего осей». Последние два столбца показывают число плоскостей и наличие центра симметрии. Одинаковые строки у куба и октаэдра, а также у додекаэдра и икосаэдра помогают заметить сходство их симметрий.

Разбор задач

Ось куба через центры противоположных граней

Условие. У куба указать ось, проходящую через центры двух противоположных граней, и определить её порядок. Нужно выяснить, какой поворот вокруг этой прямой оставляет куб на месте. Достаточно найти наименьший такой угол, а затем определить число положений за полный оборот.

1. Проведём прямую через центры двух противоположных граней. Она проходит через центр куба и перпендикулярна этим граням.
2. При повороте на 90° четыре боковые грани переходят одна в другую, а две грани, центры которых лежат на оси, остаются на своих местах. Значит, весь куб совмещается сам с собой.
3. Меньший ненулевой угол поворота не подходит: например, поворот на 45° не переводит вершины в вершины куба. За 360° тело принимает четыре одинаковых положения, поэтому порядок оси равен 360° / 90° = 4.

Ответ. Прямая через центры противоположных граней — ось четвёртого порядка. Проверка основана на том, что при повороте на 90° вершины, рёбра и грани куба переходят в соответствующие элементы.

Плоскость через диагонали противоположных граней куба

Условие. Определить, является ли плоскость, проходящая через диагонали двух противоположных граней куба, плоскостью симметрии. Уточним, что имеются в виду диагонали, лежащие на одной прямой плоскости. Для ответа проверим, сохраняет ли отражение относительно неё весь куб.

1. Плоскость проходит через центр куба, а диагонали на противоположных гранях лежат в ней. Поэтому вершины этих диагоналей остаются на месте при отражении.
2. Остальные вершины расположены попарно по разные стороны плоскости. Отражение меняет местами вершины каждой такой пары, а соединяющие их рёбра переходят в рёбра куба.
3. Поскольку при этом грани также переходят в грани того же куба, отражение сохраняет всё тело. Следовательно, данная плоскость является плоскостью симметрии.

Ответ. Да, такая плоскость является плоскостью симметрии куба. Решение опирается не только на то, что плоскость проходит через центр, но и на проверку соответствия вершин, рёбер и граней.

Сравнение тетраэдра и октаэдра

Условие. Сравнить элементы симметрии тетраэдра и октаэдра и объяснить, почему у одного из них нет центра симметрии. Для этого рассмотрим сначала возможность попарного соответствия вершин, а затем сравним оси и плоскости. Важно не путать центр тела с центром симметрии.

1. У центрально симметричного тела каждая вершина должна перейти в другую вершину, причём центр обязан быть серединой отрезка между ними. У тетраэдра четыре вершины, но они не составляют пары, подходящие для такого отражения, поэтому центра у него нет.
2. У октаэдра вершины расположены попарно напротив друг друга относительно центра. Отражение переводит каждую вершину в противоположную, значит, центр симметрии есть.
3. У тетраэдра 7 осей и 6 плоскостей симметрии. У октаэдра 13 осей и 9 плоскостей; при этом, как и у куба, его оси имеют порядки 2, 3 и 4.

Ответ. Центр симметрии есть у октаэдра, но отсутствует у тетраэдра из-за невозможности попарно сопоставить его вершины при центральном отражении. Число осей и плоскостей у октаэдра больше: соответственно 13 и 9.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать любую прямую через центр многогранника осью симметрии. Такое предположение возникает потому, что многие оси действительно проходят через центр, но одной этой особенности недостаточно. Поверните тело вокруг прямой и проверьте, переходят ли все грани, рёбра и вершины в свои копии.
• Ошибка: путать порядок оси с углом поворота. Эти величины связаны, но порядок показывает число одинаковых положений за полный оборот, а не величину угла. Для проверки используйте формулу: наименьший угол равен 360° / порядку оси.
• Ошибка: считать любую плоскость через центр плоскостью симметрии. Через центр можно провести плоскости, которые при отражении не сохраняют расположение граней и вершин. Проверьте, что отражённое тело полностью совпадает с исходным.
• Ошибка: приписывать тетраэдру центр симметрии только потому, что его центр находится внутри. Центр тела и центр симметрии — не одно и то же: при центральном отражении вершины должны соответствовать другим вершинам попарно. Если для каждой вершины нельзя найти такую пару, центра симметрии нет.

Связь с другими темами

Для изучения симметрии нужно знать правильные многогранники и различать их грани, рёбра и вершины, а также понимать, что такое поворот и отражение. Эти знания позволяют проверять, какие элементы переходят друг в друга при преобразовании. Тема связана с преобразованиями пространства и помогает анализировать чертежи, модели и задачи о правильных многогранниках. Такой способ рассуждения пригодится и при распознавании симметрии реальных предметов.

Что запомнить

• Поворот вокруг оси симметрии совмещает многогранник сам с собой.
• Порядок оси — число равных положений при полном обороте.
• Плоскость симметрии задаёт отражение, сохраняющее многогранник.
• Центральная симметрия требует попарного соответствия точек относительно одной точки.
• У тетраэдра нет центра симметрии.
• У куба и октаэдра одинаковое число осей и плоскостей симметрии.
• У додекаэдра и икосаэдра одинаковое число осей и плоскостей симметрии.