36. Понятие правильного многогранника

Определения и обозначения

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а все многогранные углы равны. Выпуклый многогранник не имеет вмятин: отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри тела. Такое определение задаёт сразу два требования: одинаковыми должны быть грани и устройство тела у каждой вершины. Поэтому проверять только внешний вид отдельных граней недостаточно.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Например, правильный треугольник — равносторонний, а правильный четырёхугольник — квадрат. Именно такие многоугольники могут служить гранями правильного многогранника, потому что каждая грань должна иметь одинаковую форму и размер. Условие равенства граней дополняет их правильность: квадрат и равносторонний прямоугольник не могут быть разными гранями одного правильного многогранника.

Многогранный угол при вершине образуется плоскими углами граней, которые сходятся в этой вершине. Если к вершине прилегают три грани, такой угол составлен из трёх плоских углов; при четырёх гранях — из четырёх. Его устройство определяет, как грани соединяются вокруг вершины. Равенство многогранных углов означает, что во всех вершинах сходится одинаковое число одинаково расположенных плоских углов.

Существуют пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их называют платоновыми телами — по имени древнегреческого философа Платона, с учением которого связывали эти фигуры. Название каждого тела связано с числом его граней: например, тетраэдр имеет четыре грани, а додекаэдр — двенадцать. Куб является частным случаем правильного многогранника, а не отдельным исключением из определения.

Как это устроено

Для правильного многогранника недостаточно собрать тело из равных фигур: каждая фигура должна быть правильным многоугольником, а все вершины должны иметь одинаковое устройство. Причина в том, что неправильная грань может иметь разные углы, а значит, по-разному соединяться с соседними гранями. Даже если все грани равны между собой, они могут не быть правильными многоугольниками. Требование равенства многогранных углов не позволяет одной части тела выступать или иметь иное расположение граней относительно остальных.

В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число равных плоских углов. Все грани — равные правильные многоугольники, поэтому их внутренние углы одинаковы. Если в одной вершине сходится три грани, а в другой четыре, многогранные углы там будут устроены по-разному. Это нарушило бы определение правильного тела, даже если сами грани имеют одинаковую форму.

У выпуклого многогранника сумма плоских углов при вершине должна быть меньше 360°. Если она равна 360°, грани вокруг вершины складываются в плоскую фигуру и не образуют выпуклый угол; если больше — они не могут замкнуться вокруг вершины выпуклого тела. У правильного n-угольника внутренний угол равен 180° · (n − 2) / n. Например, у правильного шестиугольника угол равен 120°, поэтому три таких угла дают 360°, а не меньше; значит, они не могут образовать вершину выпуклого правильного многогранника.

Проверка суммы углов даёт ограниченное число вариантов. Для треугольных граней угол равен 60°: при вершине могут сходиться три, четыре или пять таких углов, но не шесть. Для квадратов угол равен 90°, поэтому подходят только три квадрата; для правильных пятиугольников угол 108°, и подходят три. У правильных многоугольников с шестью и более сторонами даже три угла дают не меньше 360°, поэтому они не могут быть гранями выпуклого правильного многогранника.

Сочетание формы грани и числа граней при вершине определяет пять возможных тел: треугольники соединяются по три, четыре или пять; квадраты — по три; правильные пятиугольники — по три. Эти сочетания дают соответственно тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Названия связаны с числом граней, а не с числом вершин или рёбер. Для куба из каждой вершины выходят три ребра, поэтому он удовлетворяет условию равенства многогранных углов.

Пять правильных многогранников

В таблице указаны форма грани и количество элементов каждого тела; число граней при вершине показывает, сколько одинаковых граней сходится в одной точке. Сравнивайте не только форму грани, но и это число: вместе они задают тип правильного многогранника. Числа вершин, рёбер и граней также можно проверять по формуле Эйлера: В − Р + Г = 2.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли выпуклый многогранник правильным, если все его грани — равные квадраты, а в каждой вершине сходятся три грани. Проверим оба условия определения, не ограничиваясь тем, что грани похожи друг на друга. Квадрат является правильным многоугольником, а одинаковое число одинаковых граней при каждой вершине означает равенство многогранных углов. Следовательно, перед нами куб.

1. По условию многогранник выпуклый, а его грани — равные квадраты.
2. Квадрат правильный, поэтому первое требование к граням выполнено.
3. В каждой вершине сходятся три одинаковые грани, значит, углы при вершинах устроены одинаково.

Ответ: да, это правильный многогранник — куб, или гексаэдр. Задача 2. Может ли выпуклый правильный многогранник иметь гранями равные правильные шестиугольники, если в каждой вершине сходятся три грани? Здесь нужно проверить не только форму многоугольника, но и сумму углов, которую три грани образуют при вершине. Если сумма не меньше 360°, вершина выпуклого тела так устроена быть не может.

1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 180° · (6 − 2) / 6 = 120°.
2. В вершине сходятся три грани, поэтому сумма плоских углов равна 3 · 120° = 360°.
3. Для выпуклого многогранника сумма должна быть строго меньше 360°, значит, условие не выполняется.

Ответ: нет, такой выпуклый правильный многогранник невозможен. Задача 3. У правильного многогранника грани — треугольники, и в каждой вершине сходятся четыре грани. Определим название и число вершин, рёбер и граней. Угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому четыре угла дают 240° — это меньше 360° и соответствует октаэдру.

1. По форме граней и числу граней при вершине находим в таблице октаэдр.
2. В октаэдре 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней.
3. Проверяем формулу Эйлера: 6 − 12 + 8 = 2; равенство выполняется.

Ответ: октаэдр; 6 вершин, 12 рёбер и 8 граней. Проверка по формуле Эйлера подтверждает, что числа согласованы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать равенство граней достаточным условием правильности. Так думают, потому что одинаковые грани заметны сразу, а форма и устройство вершин требуют отдельной проверки. Убедитесь, что грани не только равны, но и являются правильными многоугольниками; затем сравните число и расположение граней у каждой вершины. Все части определения должны выполняться одновременно.

Другая ошибка — путать равенство граней с равенством всех рёбер или углов и не проверять форму граней. Равные по размеру фигуры могут иметь неправильную форму, а равные рёбра сами по себе не доказывают, что каждый многоугольник правильный. Проверьте отдельно равенство сторон и углов внутри каждой грани, а затем равенство граней между собой. Так вы не подмените одно условие другим.

Иногда предполагают, что в вершине может сходиться любое число граней. Но сумма плоских углов выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°: равенство даёт плоское расположение, а превышение не позволяет образовать выпуклый угол. Найдите величину угла каждой грани и умножьте её на число сходящихся граней. Если результат равен 360° или больше, вариант нужно исключить.

При классификации можно учесть только форму грани и забыть число граней при вершине. Тогда треугольные грани ошибочно приводят к одному-единственному названию, хотя при них могут сходиться три, четыре или пять граней. Сначала установите форму многоугольника, затем посчитайте грани у вершины и сравните сочетание с возможными вариантами. В таблице одна и та же форма треугольной грани встречается у трёх разных тел.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое многогранник, его грань, ребро, вершина и выпуклость. Также понадобится умение распознавать правильные многоугольники и находить их внутренние углы: именно эти углы складывают вокруг вершины. Позже свойства правильных многогранников пригодятся при изучении площадей и объёмов пространственных тел. Числа вершин, рёбер и граней позволяют применять формулу Эйлера В − Р + Г = 2 и проверять ответы.

Что запомнить

• Правильный многогранник — выпуклый многогранник с равными правильными гранями и равными многогранными углами.
• Во всех вершинах правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Сумма плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует ровно пять видов правильных многогранников.
• Куб — правильный многогранник с квадратными гранями.
• Числа вершин, рёбер и граней правильного многогранника связаны формулой Эйлера: В − Р + Г = 2.