35. Симметрия в пространстве

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O сопоставляет каждой точке X точку X′ так, что O — середина отрезка XX′. Иными словами, X и X′ лежат на одной прямой по разные стороны от O и находятся от него на одинаковом расстоянии. Точка O при этом остаётся на месте. Это определение позволяет строить образ точки и проверять, является ли заданная точка центром симметрии фигуры.

Осевая симметрия относительно прямой a переводит точку X в точку X′ так, что прямая a перпендикулярна отрезку XX′ и проходит через его середину. Все точки оси остаются неподвижными, а точки вне оси перемещаются на другую сторону от неё. Такое описание помогает построить образ точки в пространстве, где ось — именно прямая, а не плоскость.

Зеркальная симметрия относительно плоскости α переводит точку X в точку X′ так, что плоскость α перпендикулярна XX′ и делит его пополам. Точки самой плоскости не меняют положения. Определение нужно, чтобы понять, где окажется образ: на перпендикуляре к плоскости, на таком же расстоянии от неё, но с другой стороны.

Симметричными называют точки, соответствующие друг другу при одном из этих преобразований. Фигура симметрична относительно центра, оси или плоскости, если после преобразования она переходит сама в себя. Это различие важно: отдельная пара точек может соответствовать друг другу, но этого недостаточно, чтобы вся фигура обладала симметрией.

Как это устроено

При центральной симметрии отрезок XX′ проходит через центр O, причём O находится ровно посередине. Поэтому для построения образа достаточно продолжить прямую XO за центр и отложить отрезок той же длины, что и OX. Если X совпадает с O, образ тоже совпадает с O. Такая конструкция показывает, что преобразование определяется одной неподвижной точкой и одинаковым расстоянием до неё.

Осевая симметрия в пространстве устроена как поворот на 180° вокруг прямой a. Представьте плоскость, перпендикулярную оси и проходящую через точку X: при повороте X движется по окружности в этой плоскости и оказывается в противоположной точке окружности. Поэтому отрезок XX′ перпендикулярен оси, а ось проходит через его середину. Точки, лежащие на оси, не движутся, поскольку поворот вокруг прямой не меняет их положения.

При зеркальном отражении точка переходит на другую сторону плоскости α. Расстояние до плоскости не меняется, иначе отражение растянуло бы или сжало фигуру. Кратчайший путь от точки до плоскости проходит по перпендикуляру, поэтому точка и её образ лежат на одной перпендикулярной прямой. Плоскость пересекает соединяющий их отрезок посередине: именно так отражение сохраняет одинаковое расстояние по обе стороны.

Все три преобразования сохраняют расстояния между соответствующими точками. Это происходит потому, что отражение, поворот и перенос на противоположную сторону относительно центра не растягивают фигуру и не меняют длину отрезков. Углы тоже сохраняются: направления сторон могут измениться, но величины углов между ними остаются прежними. Поэтому образ любого отрезка равен исходному, а образ многоугольника или другого тела равен всей исходной фигуре.

Фигура может иметь несколько элементов симметрии или не иметь ни одного. Например, правильный многогранник обладает разными плоскостями и осями симметрии, а произвольная фигура — не обязательно. Чтобы проверить симметрию, нужно применить преобразование ко всем точкам фигуры и выяснить, совпадает ли результат с ней целиком. Совпадение лишь одной вершины или части фигуры ничего не доказывает.

Сравнение видов симметрии в пространстве

Сначала найдите, чем задана симметрия: точкой, прямой или плоскостью. Затем используйте соответствующее условие для отрезка между точкой и её образом. Последняя строка таблицы напоминает, что во всех трёх случаях фигура не деформируется.

Разбор задач

Постройте точку, симметричную данной точке A относительно точки O.

Центр симметрии должен оказаться серединой отрезка, соединяющего A с искомой точкой. Поэтому сначала строим прямую через A и O, а затем ищем точку по другую сторону от O. Равные расстояния OA и OA′ обеспечат нужное положение образа.

1. Проведите прямую AO.
2. Продолжите её за точку O в направлении, противоположном A.
3. На продолжении отметьте точку A′ так, чтобы OA′ = OA.
4. Проверьте, что O лежит между A и A′, а отрезки OA и OA′ равны.

Проверка подтверждает, что O — середина AA′, как требует определение центральной симметрии. Если A совпадает с O, отдельного построения не требуется: точка остаётся на месте. Ответ: точка A′ на прямой AO, расположенная по другую сторону от O на расстоянии OA.

Постройте образ треугольника ABC при зеркальной симметрии относительно плоскости α.

Треугольник задаётся тремя вершинами, а отражение сохраняет расстояния и углы. Поэтому удобно сначала построить образы вершин, а затем соединить их отрезками. Для каждой вершины нужен свой перпендикуляр к плоскости, потому что вершины могут находиться на разном расстоянии от α.

1. Из A проведите перпендикуляр к α и отметьте его пересечение с плоскостью.
2. За α на этом перпендикуляре отложите отрезок той же длины; получите A′.
3. Так же постройте B′ и C′, соблюдая равенство расстояний от каждой вершины до плоскости и её образа.
4. Соедините A′, B′ и C′ отрезками.

Каждая вершина и её образ лежат на перпендикуляре к α, а плоскость делит отрезок между ними пополам. Поскольку отражение сохраняет длины и углы, A′B′C′ равен исходному треугольнику ABC. Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′.

Докажите, что куб симметричен относительно плоскости, проходящей через середины двух противоположных рёбер.

Чтобы доказать симметрию многогранника, достаточно проследить, куда переходят его вершины. Для указанной плоскости середины двух противоположных рёбер лежат на плоскости, а отражение меняет местами вершины по разные стороны от неё. Оставшиеся вершины либо также переходят в вершины куба, либо лежат в плоскости отражения.

1. Обозначьте плоскость, проходящую через середины противоположных рёбер.
2. Проверьте для каждой вершины куба, по какую сторону плоскости она находится и на каком расстоянии от неё.
3. При отражении сопоставьте вершинам точки на перпендикулярах к плоскости на равном расстоянии с другой стороны.
4. Убедитесь, что полученные точки являются вершинами того же куба.

Если все вершины переходят в вершины куба, то и рёбра между ними переходят в рёбра, а грани — в грани. Следовательно, отражение переводит в себя не только набор вершин, но и весь куб. Ответ: куб симметричен относительно указанной плоскости.

Типичные ошибки

Ошибка при центральной симметрии: точку O принимают за конец отрезка, а не за его середину. Так случается, когда ученик откладывает образ от O в том же направлении, что и исходную точку. Проверьте построение: O должно лежать между X и X′, а длины OX и OX′ должны быть равны.

Ошибка при осевой симметрии: образ точки ищут на той же прямой, что и исходную точку и ось. Это неверно для точки вне оси: соединяющий её с образом отрезок перпендикулярен оси, а сама ось проходит через его середину. Для проверки опустите перпендикуляр к оси и убедитесь, что точки X и X′ расположены симметрично относительно неё.

Ошибка при зеркальной симметрии: образ откладывают в произвольном направлении, а не по перпендикуляру к плоскости. Её допускают, если воспринимают отражение как простой перенос на другую сторону. Постройте перпендикуляр к плоскости и сравните расстояния от точки и образа до неё: они должны быть равны.

Ошибка при проверке фигуры: фигуру называют симметричной, если преобразование сохраняет одну вершину или часть объекта. Это происходит, когда проверяют только удобные точки и забывают о других элементах. Проверьте образ каждой вершины и убедитесь, что всё тело, включая рёбра и грани, переходит в себя.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужны знания о середине отрезка и перпендикулярности прямых и плоскостей. Свойства равных фигур объясняют, почему после преобразования длины и углы не меняются. Позже симметрии помогают распознавать свойства многогранников, строить сечения и доказывать равенство геометрических фигур. Умение находить образы точек упрощает такие рассуждения: вместо изучения всего тела можно начать с его вершин.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• При осевой симметрии ось перпендикулярна отрезку между точкой и её образом и делит его пополам.
• При зеркальной симметрии плоскость перпендикулярна отрезку между точкой и её образом и делит его пополам.
• Точки центра, оси или плоскости симметрии остаются неподвижными.
• Центральная, осевая и зеркальная симметрии сохраняют расстояния и углы.
• Фигура симметрична, если соответствующее преобразование переводит её в себя.