§ 3. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, а выпуклость означает, что поверхность не имеет вдавленных участков. Это определение позволяет проверить не только форму отдельных граней, но и одинаковое устройство всего тела.

Тетраэдр — правильный многогранник с четырьмя треугольными гранями; в каждой вершине сходятся три грани. Его грани — равносторонние треугольники, то есть треугольники с равными сторонами. Тетраэдр служит самым простым примером правильного многогранника и помогает увидеть, как плоские грани образуют объёмное тело.

Октаэдр — правильный многогранник с восемью треугольными гранями; в каждой вершине сходятся четыре грани. Его грани также являются равносторонними треугольниками, но около вершины их больше, чем у тетраэдра. Сравнение этих тел показывает, что число граней само по себе не задаёт вид многогранника: важно и то, как грани соединяются.

Додекаэдр и икосаэдр — правильные многогранники соответственно с двенадцатью пятиугольными и двадцатью треугольными гранями. В додекаэдре три правильных пятиугольника сходятся у каждой вершины, а в икосаэдре — пять равносторонних треугольников. Эти определения помогают соотнести форму граней и их количество с конкретным телом.

Как это устроено

Равных правильных граней недостаточно для правильности всего многогранника. Если у одних вершин сходится три грани, а у других — четыре, вершины имеют разное устройство, даже когда все грани одинаковы. Поэтому в определении требуют одного и того же числа граней при каждой вершине: тогда локальное строение тела повторяется и сохраняется его правильность.

Вокруг вершины плоские углы сходящихся граней должны сложиться в угол меньше 360°. Представьте, что грани складываются по рёбрам: при сумме меньше полного угла они поворачивают и образуют выпуклую вершину. При 360° грани легли бы в одну плоскость, а при большей сумме должны были бы перекрываться или образовать невыпуклое соединение. Поэтому равенство 360° не подходит: оно не даёт выпуклого замыкания.

Это условие ограничивает и число сторон многоугольника, и число граней у вершины. У правильного n-угольника внутренний угол равен 180° · (n − 2) / n, а если у вершины сходится m таких граней, нужно, чтобы m углов вместе дали меньше 360°. Для треугольника угол равен 60°, поэтому могут сходиться три, четыре или пять граней; для квадрата с углом 90° — только три. У правильного пятиугольника угол 108°, и подходят три грани, а начиная с шестиугольника даже три угла дают не меньше 360°.

Получаются ровно пять сочетаний: три, четыре или пять треугольных граней при вершине; три квадратные грани; три правильные пятиугольные грани. Каждое сочетание задаёт один из пяти выпуклых правильных многогранников, если одинаковое устройство продолжается по всей поверхности. Три треугольника дают тетраэдр, четыре — октаэдр, пять — икосаэдр; три квадрата дают куб, а три пятиугольника — додекаэдр. Других вариантов не возникает, потому что углы более крупных правильных многоугольников уже не позволяют собрать выпуклую вершину.

Количество рёбер удобно находить по граням: если каждая из Г граней имеет n сторон, подсчёт сторон всех граней даёт nГ. При этом каждое ребро входит в подсчёт дважды — один раз для каждой из двух прилегающих граней, поэтому Р = nГ / 2. Затем число вершин можно найти из формулы Эйлера для выпуклых многогранников: В − Р + Г = 2, откуда В = Р − Г + 2. Эта проверка помогает обнаружить ошибку в подсчёте элементов.

Пять правильных многогранников и их элементы

Сначала найдите строку по виду грани и числу граней, а затем сравните значения рёбер и вершин. Если известны форма грани и число граней, число рёбер можно дополнительно проверить по формуле Р = nГ / 2. Для проверки вершин подставьте все три количества в формулу Эйлера.

Разбор задач

Квадратные грани и три грани у вершины

Условие. Проверить, может ли выпуклый многогранник с квадратными гранями, по три сходящиеся в каждой вершине, быть правильным. Сначала проверим, возможно ли такое соединение углов у вершины. Затем сопоставим полученное сочетание с известным правильным многогранником.

1. Внутренний угол квадрата равен 90°. Это угол каждой грани, который прилегает к рассматриваемой вершине. Значит, три таких угла дают 3 · 90° = 270°.
2. Полученная сумма меньше 360°, поэтому условие выпуклой вершины выполнено. Грани могут загибаться вокруг вершины и замыкать её без распрямления. Значит, препятствия со стороны углов нет.
3. Сочетание «квадраты, по три у вершины» соответствует кубу. Все его грани равны и правильны, а в каждой вершине сходятся три квадрата. Следовательно, такой правильный многогранник существует.

Ответ: да, это куб.

Правильные пятиугольные грани

Условие. У правильного многогранника грани — правильные пятиугольники. Определить число граней, рёбер и вершин. Чтобы начать подсчёт, определим вид тела по форме грани, а затем найдём рёбра и проверим вершины.

1. При вершине правильного многогранника сходятся три пятиугольника, поскольку их углы равны 108°, а 3 · 108° = 324° < 360°. Это сочетание соответствует додекаэдру, у которого 12 граней. Значит, Г = 12.
2. На каждой грани пять сторон, поэтому при подсчёте по граням получаем 5 · 12 = 60 сторон. Каждое ребро принадлежит двум граням, следовательно, Р = 60 / 2 = 30. Деление на два необходимо, чтобы каждое ребро учитывать только один раз.
3. По формуле Эйлера В − Р + Г = 2 находим В = Р − Г + 2 = 30 − 12 + 2 = 20. Подставим результат для проверки: 20 − 30 + 12 = 2. Значит, вычисления согласуются с формулой.

Ответ: 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин.

Шесть треугольников у вершины

Условие. Установить, может ли существовать правильный многогранник, в каждой вершине которого сходятся шесть равносторонних треугольников. Здесь нужно проверить локальное условие выпуклости: достаточно узнать сумму шести углов при одной вершине. Если она не меньше 360°, выпуклое замыкание невозможно.

1. У равностороннего треугольника каждый угол равен 60°. Поэтому шесть треугольников дают сумму 6 · 60° = 360°.
2. Для выпуклой вершины сумма углов должна быть строго меньше 360°. При равенстве поверхность не загибается вокруг вершины, а располагается плоско. Условие правильного выпуклого многогранника нарушено.
3. Следовательно, искомого правильного многогранника не существует. Число сторон у каждой грани подходящее, но граней у вершины слишком много для выпуклого замыкания.

Ответ: нет, такой выпуклый правильный многогранник существовать не может.

Типичные ошибки

Считать достаточным равенство граней. Одинаковые правильные грани не гарантируют, что многогранник устроен одинаково у всех вершин. Такую ошибку допускают, сосредоточившись на форме каждой грани отдельно. Проверьте, одно ли и то же число граней сходится в каждой вершине.

Допускать сумму углов 360°. Равенство полного угла кажется допустимым граничным случаем, но при нём грани не загибаются вокруг вершины. Для выпуклого многогранника требуется строгое неравенство: сумма должна быть меньше 360°. Перед выводом вычислите сумму и сравните её именно с 360°, а не только проверьте, что она не больше.

Не делить число сторон всех граней на два. Умножение числа граней на число сторон каждой даёт удвоенное число рёбер, так как каждое ребро принадлежит двум граням. Ошибка возникает, если считать сторону каждой грани отдельным ребром. Используйте Р = nГ / 2 и проверьте, что результат целый.

Путать грани, рёбра и вершины или неверно применять формулу Эйлера. Г — число граней, Р — число рёбер, В — число вершин, и для выпуклого многогранника выполняется В − Р + Г = 2. При перестановке величин или знаков проверка даст неверный результат. Подписывайте, что именно обозначает каждое число, и подставляйте значения в формулу с теми же обозначениями.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся свойства правильных многоугольников, прежде всего величины их внутренних углов: без них нельзя проверить сумму углов при вершине. При подсчёте нужно различать грань, ребро и вершину и применять формулу Эйлера В − Р + Г = 2 для выпуклых многогранников. Позже правильные многогранники помогут разбираться в симметрии, строить сечения и решать задачи на площади и объёмы. Так свойства плоских фигур связываются с геометрией тел.

Что запомнить

• Правильный многогранник выпуклый.
• Все его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине сходится одинаковое число граней.
• Сумма углов граней при вершине должна быть меньше 360°.
• Существует ровно пять видов правильных многогранников.
• Для выпуклого многогранника выполняется равенство В − Р + Г = 2.