7. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого равны между собой и являются правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Иначе говоря, он устроен одинаково и на поверхности, и вокруг каждой вершины. Это определение помогает отличить правильную фигуру от тела, у которого лишь похожи отдельные грани.

Правильный тетраэдр — правильный многогранник с четырьмя гранями-треугольниками. Каждый его треугольник равносторонний, поэтому все стороны каждой грани равны; поскольку каждое ребро принадлежит такой грани, все рёбра тетраэдра имеют одинаковую длину. Это самый простой пример правильного многогранника.

Куб — правильный многогранник с шестью квадратными гранями. Его грани равны и правильны, а в каждой вершине встречаются три квадрата, поэтому куб соответствует общему определению; другое название куба — гексаэдр. Этот пример показывает, что правильные многогранники не обязаны иметь треугольные грани.

Двойственными называют многогранники, у которых число вершин одного равно числу граней другого, число граней одного равно числу вершин другого, а число рёбер совпадает. Куб и октаэдр — двойственная пара; так же связаны додекаэдр и икосаэдр. Понятие позволяет увидеть связь между разными правильными телами.

Как это устроено

Одинаковые грани сами по себе ещё не делают многогранник правильным: вокруг разных вершин могут собираться разные количества граней. Тогда углы и форма вершин будут устроены неодинаково, даже если все грани совпадают. Поэтому в определении отдельно требуют, чтобы у каждой вершины сходилось одно и то же число одинаковых граней.

Вокруг вершины плоские углы граней должны образовать объёмный выпуклый угол. Если их сумма равна 360°, они могут расположиться в одной плоскости, и вершина не будет выпуклой; если сумма больше, выпуклый угол тоже не образуется. Значит, сумма углов граней при каждой вершине обязана быть строго меньше 360°.

Это ограничение позволяет перебрать возможные сочетания. У равностороннего треугольника угол 60°, поэтому в вершине могут сходиться три, четыре или пять таких граней: суммы равны 180°, 240° и 300°. У квадрата угол 90°, и подходят только три грани, дающие 270°; четыре дали бы 360°. У правильного пятиугольника угол 108°, поэтому подходят три грани с суммой 324°. У правильного шестиугольника угол 120°, а три таких угла уже дают 360°; у многоугольников с большим числом сторон угол ещё больше. Получаются пять сочетаний и пять тел: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Число вершин V, рёбер E и граней F любого выпуклого многогранника связано формулой Эйлера: V − E + F = 2. Она помогает проверить подсчёты и найти неизвестное число элементов, если известны два остальных. Однако формула сама по себе не доказывает, что многогранник существует: нужно также учитывать устройство граней и вершин.

Чтобы построить двойственный многогранник, отмечают центры граней исходного тела и соединяют центры соседних граней. Полученные точки становятся вершинами нового многогранника, а его грани соответствуют вершинам исходного. У куба шесть граней и восемь вершин, а у октаэдра — восемь граней и шесть вершин; рёбер у обоих по двенадцать. Аналогично меняются местами 12 граней и 20 вершин додекаэдра и икосаэдра, тогда как у каждого по 30 рёбер.

Пять правильных многогранников и их основные характеристики

По таблице можно сопоставить число граней, форму каждой грани и устройство вершины, чтобы определить многогранник. Проверяйте указанные числа с помощью формулы Эйлера: для каждой строки должно выполняться V − E + F = 2.

Разбор задач

Задача 1

У правильного тетраэдра четыре грани. Найдём число его рёбер и вершин. У каждой грани по три стороны, но нельзя считать каждую сторону отдельным ребром всего тела: каждое ребро принадлежит двум граням. Сначала определим рёбра, затем воспользуемся формулой Эйлера.

1. Общее число сторон граней равно 4 · 3 = 12.
2. Каждое ребро посчитано дважды, поэтому E = 12 : 2 = 6.
3. По формуле Эйлера V − 6 + 4 = 2, откуда V = 4.

Ответ: у тетраэдра 6 рёбер и 4 вершины.

Задача 2

У правильного многогранника грани — квадраты, и в каждой вершине сходятся три грани. Определим тело и найдём число его вершин и рёбер. Три прямых угла дают вокруг вершины 270°, поэтому такое устройство выпуклой вершины возможно. Среди пяти правильных многогранников квадратные грани имеет куб.

1. У куба F = 6, а в каждой грани 4 стороны.
2. Считаем стороны всех граней и делим на два: E = (6 · 4) : 2 = 12.
3. Применяем формулу Эйлера: V − 12 + 6 = 2, поэтому V = 8.

Ответ: это куб; у него 8 вершин и 12 рёбер.

Задача 3

Докажем, что из правильных пятиугольников нельзя составить выпуклый правильный многогранник, если в каждой вершине сходятся четыре грани. Угол правильного пятиугольника равен (5 − 2) · 180° : 5 = 108°. В вершине сумма углов четырёх граней должна быть меньше 360°, поэтому сравним её с этим пределом.

1. Находим сумму углов при предполагаемой вершине: 4 · 108° = 432°.
2. Полученное значение больше 360°, следовательно, плоские углы не могут образовать выпуклую вершину.
3. Значит, указанное сочетание граней невозможно для выпуклого правильного многогранника.

Ответ: составить такой выпуклый правильный многогранник нельзя.

Типичные ошибки

Считать, что равенства всех граней достаточно для правильности, — ошибка: грани могут сходиться вокруг вершин по-разному. Её допускают, сосредоточившись только на поверхности многогранника. Проверьте отдельно, что грани правильные, а число сходящихся граней одинаково в каждой вершине.

При подсчёте рёбер иногда складывают число сторон всех граней и останавливаются на результате. Так каждое ребро учитывается дважды, потому что оно является стороной двух граней. Проверка простая: разделите общее число сторон граней на два и затем сверьте результат с формулой Эйлера.

Сумму углов при вершине, равную 360°, нельзя считать допустимой для выпуклого многогранника. При таком значении грани могут лечь в плоскость, а не образовать выпуклый угол. Чтобы проверить возможность вершины, сравнивайте сумму с 360° и требуйте строгого неравенства: она должна быть меньше.

В двойственной паре легко перепутать число граней с числом вершин. У куба и октаэдра эти числа меняются местами, а рёбер у обоих по 12; то же правило действует для додекаэдра и икосаэдра. Запишите обе пары чисел отдельно и проверьте, что число рёбер совпадает.

Связь с другими темами

До изучения правильных многогранников нужно знать правильные многоугольники, их углы и правила сложения углов при вершине. Это позволяет проверить, могут ли одинаковые грани образовать выпуклое тело. Формула Эйлера связывает числа граней, рёбер и вершин и помогает контролировать подсчёты в задачах о пространственных фигурах. Позже свойства правильных многогранников пригодятся при вычислении объёмов и площадей поверхностей, а также при изучении пространственной симметрии.

Что запомнить

• Правильный многогранник выпуклый, а его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Сумма углов граней при вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует ровно пять правильных многогранников.
• Для выпуклого многогранника V − E + F = 2.
• У двойственных многогранников числа вершин и граней меняются местами, а число рёбер совпадает.