"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Сферический пояс — часть поверхности шара между двумя параллельными плоскостями. Его площадь определяется радиусом сферы и расстоянием между плоскостями: S = 2πRh. Поэтому не нужно отдельно находить радиусы окружностей, по которым плоскости пересекают сферу: при одинаковых радиусе сферы и высоте пояса площадь будет одной и той же. Формула подходит и для всей сферы, если считать высоту равной её диаметру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сферический пояс — часть поверхности шара между двумя параллельными плоскостями. Эти плоскости пересекают сферу по окружностям, которые служат границами пояса. Понятие помогает точно выделить нужную часть поверхности, а не считать площадь всего шара.
Высота сферического пояса — расстояние между плоскостями, ограничивающими пояс; обозначим её h. Это расстояние измеряют перпендикулярно плоскостям, потому что именно оно показывает ширину пояса в направлении их расположения. В формуле площади h отвечает за размер выделенной части поверхности.
Радиус сферы — расстояние от её центра до любой точки сферы; обозначим его R. У одной сферы это расстояние постоянно, независимо от того, где выбраны ограничивающие плоскости. Радиус нужен для вычисления площади, поскольку задаёт масштаб всей поверхности.
Площадь сферического пояса — площадь части поверхности сферы между ограничивающими плоскостями. Её измеряют в квадратных единицах, например в см² или м². Чтобы найти эту площадь, достаточно знать R и h.
Чтобы задать пояс, нужны сфера радиуса R и две параллельные плоскости, пересекающие её или касающиеся её границ. Плоскости делят поверхность на части, одна из которых и является поясом. Высота h — расстояние именно между плоскостями, поэтому она не зависит от того, насколько высоко или низко относительно них расположен центр сферы: перенос сферы не меняет расстояние между самими плоскостями.
Теорема о площади сферического пояса утверждает: S = 2πRh. В формуле участвуют радиус сферы и высота пояса, а не радиусы его граничных окружностей. Причина в том, что увеличение или уменьшение длины окружностей при перемещении плоскостей компенсируется изменением наклона поверхности. В результате для одного R пояса одинаковой высоты имеют одинаковую площадь.
Идею обоснования можно понять, сравнив пояс с боковой поверхностью цилиндра радиуса R и высоты h. Площадь боковой поверхности такого цилиндра равна длине окружности основания, умноженной на высоту: 2πR · h. При мысленном разбиении сферического пояса на узкие полоски их площади складываются так же, как площади соответствующих полосок цилиндра: более короткая окружность сферической полоски уравновешивается её наклоном. Поэтому площадь пояса равна 2πRh.
Если поясом является вся сфера, его границами считают две параллельные касательные плоскости по разные стороны от центра. Расстояние между ними равно диаметру, то есть h = 2R. Подстановка в формулу даёт S = 2πR · 2R = 4πR² — известную формулу площади сферы. Это частный случай, который подтверждает согласованность формулы для пояса с формулой для всей поверхности.
Радиусы окружностей сечений могут быть разными даже у поясов на одной сфере, но сами по себе они не определяют площадь. Если R и расстояние h между плоскостями одинаковы, то площади поясов равны, хотя их граничные окружности могут находиться на разных уровнях. Значит, вычислять эти радиусы отдельно для применения теоремы не требуется.
| Часть поверхности | Высота | Площадь |
|---|---|---|
| Сферический пояс между параллельными плоскостями | h | 2πRh |
| Вся сфера | 2R | 4πR² |
| Полусфера как пояс между экваториальной плоскостью и касательной | R | 2πR² |
Сначала определите, какая часть поверхности дана, и установите её высоту. Для пояса используйте S = 2πRh; для всей сферы можно подставить h = 2R, а для указанной полусферы — h = R. Сравните данные задачи с таблицей и не подменяйте высоту радиусом граничной окружности.
Задача 1. Радиус сферы равен 5 см, высота сферического пояса — 3 см. Найдите площадь пояса. Даны обе величины, необходимые для прямого применения формулы. Единицы измерения уже совпадают, значит, результат получится в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30π см².
Задача 2. Площадь сферического пояса равна 48π см², радиус сферы — 8 см. Найдите высоту пояса. Высота неизвестна, поэтому выразим её из формулы площади. После вычисления проверим, помещается ли найденная высота в сфере данного радиуса.
Ответ: 3 см.
Задача 3. В сфере радиуса 13 см пояс ограничен плоскостями, находящимися на расстояниях 5 см и 3 см от центра по разные стороны от него. Найдите площадь пояса. Здесь сначала нужно восстановить расстояние между плоскостями: если они по разные стороны от центра, промежуток между ними проходит через центр. Значит, расстояния от центра складываются.
Ответ: 208π см².
Вместо высоты пояса иногда подставляют радиус окружности сечения. Эти величины отвечают за разное: радиус окружности лежит в плоскости границы, а h измеряется между плоскостями. Ошибку допускают, когда ориентируются на видимую окружность, а не на определение высоты; проверьте, что используете именно расстояние между плоскостями.
Если плоскости находятся по разные стороны от центра, иногда вычитают расстояния от центра до каждой из них. Так можно ошибиться, потому что путь от одной плоскости к другой проходит через центр. В этом случае расстояния нужно сложить; проверка — представить, что центр находится между плоскостями.
Формулу 4πR² применяют к любому поясу, забывая, что она даёт площадь всей сферы. Такое происходит, когда известен радиус, но не учитывают высоту части поверхности. Для пояса используйте S = 2πRh, а 4πR² применяйте только при h = 2R.
После вычисления высоты могут не проверить, возможна ли она на данной сфере. Между параллельными плоскостями, ограничивающими пояс, расстояние не может быть отрицательным или больше диаметра. Сверьте результат с условием 0 ≤ h ≤ 2R: нарушение означает ошибку в вычислениях или исходных данных.
Для работы с формулой площади пояса нужны знания о площади круга и боковой поверхности цилиндра: последняя равна 2πRh и помогает понять результат теоремы. Также нужно уметь распознавать параллельные плоскости и находить расстояние между ними. Если плоскости расположены по разные стороны от центра, определение высоты сводится к сложению расстояний.
Формула полезна в задачах о частях поверхности шара, ограниченных плоскостями. Она позволяет находить площадь пояса, не вычисляя отдельно окружности его границ. Такие вычисления встречаются и в задачах о телах, составленных из сферических частей и плоских сечений.
Что называют сферическим поясом?
Это часть поверхности шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями. Плоскости пересекают сферу по окружностям, которые ограничивают пояс.
Как найти высоту сферического пояса?
Высота h — это расстояние между параллельными плоскостями, ограничивающими пояс. Если плоскости расположены по разные стороны от центра на расстояниях d₁ и d₂, то h = d₁ + d₂; если по одну сторону, то расстояние между ними равно разности расстояний.
Почему площадь пояса не зависит от радиусов окружностей его границ?
При изменении положения пояса меняются длины окружностей на его краях, но площадь поверхности тоже меняется так, что определяется только радиусом сферы и высотой пояса. Поэтому для сферы одного радиуса пояса одинаковой высоты имеют одинаковую площадь.
Какую формулу использовать для площади сферического пояса?
Используйте формулу S = 2πRh, где R — радиус сферы, а h — расстояние между плоскостями. Проверьте, что обе величины выражены в одинаковых единицах.
Как проверить, может ли найденная высота соответствовать данному радиусу сферы?
Высота пояса должна быть неотрицательной и не больше диаметра сферы. Поэтому проверьте условие 0 ≤ h ≤ 2R.
6.5. Площадь поверхности сферического пояса
