7.1. Определение правильного многогранника

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него. Кроме условий на грани, для правильности требуется одинаковое устройство вершин: это позволяет отличить цельное симметричное тело от многогранника с одинаковыми гранями, но разными вершинами.

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Именно такие фигуры могут быть гранями правильного многогранника: одинаковые стороны обеспечивают равенство рёбер, а равные углы позволяют одинаково соединять грани у вершин. Если бы грани имели разные углы или стороны, они не образовали бы одинаковые плоские части тела.

Многогранный угол при вершине образован плоскими углами граней, сходящимися в одной вершине. Его можно представить как «угол» из нескольких плоских углов, выходящих из общей точки. Сравнение таких углов помогает проверить, одинаково ли устроены вершины многогранника: в правильном теле они равны и образованы одинаковым числом граней.

Как это устроено

Равенство граней задаёт одинаковую форму всех участков поверхности, но само по себе не определяет, как эти участки соединены в вершинах. Например, одинаковые многоугольники могут сходиться у одной вершины по три, а у другой — по четыре. Поэтому для правильности нужны два условия одновременно: равные правильные грани и одинаковое устройство многогранных углов. Первое отвечает за форму каждой грани, второе — за согласованное соединение граней в целом теле.

Если вершины устроены одинаково, в каждой из них сходится одно и то же число граней. Поскольку грани — равные правильные многоугольники, плоские углы при их вершинах также равны. В результате одинаковые наборы плоских углов соединяются в одном и том же порядке и образуют равные многогранные углы. Это условие исключает ситуацию, когда даже при одинаковых гранях одна часть тела устроена иначе, чем другая.

Число граней у вершины не может быть любым: вокруг неё должно остаться место для выпуклого угла. Если внутренний угол каждой сходящейся грани равен α, а граней у вершины k, сумма плоских углов равна kα. Для выпуклого многогранника необходимо kα < 360°. При равенстве 360° углы расправляются в плоскость, а при большей сумме грани не смогут образовать выпуклую вершину.

Равные правильные грани и одинаковое соединение граней в вершинах приводят к симметрии: части поверхности и вершины не выделяются своим устройством. Если мысленно перенести одну вершину на другую, одинаковое строение позволяет сопоставить сходящиеся грани и рёбра. Так равномерная форма отдельных граней становится свойством всего многогранника, а не только его отдельных частей.

Условия на грани и вершины ограничивают число возможных сочетаний. Для каждой грани фиксирован её внутренний угол, а число сходящихся у вершины граней должно быть целым и давать сумму меньше 360°. Большие многоугольники имеют большие внутренние углы, поэтому у вершины может сойтись меньше таких граней. Эти ограничения приводят к конечному числу типов правильных многогранников.

Условия правильности многогранника

Проверяйте условия по порядку: сначала сами грани, затем их соединение в вершинах. Таблица помогает увидеть, что проверка суммы углов — необходимое условие выпуклости, но ещё нужно убедиться в равенстве граней и одинаковости всех вершин.

Разбор задач

Равные квадратные грани и три грани у вершины

Условие. Выпуклый многогранник имеет равные квадратные грани, и в каждой вершине сходятся три грани. Требуется определить, является ли он правильным. Проверим отдельно грани и устройство вершин, не ограничиваясь фактом, что все они имеют форму квадрата.

1. Квадрат — правильный четырёхугольник: его стороны и углы равны. По условию квадраты равны между собой, значит, выполнено требование к форме и размеру граней.
2. В каждой вершине сходятся три квадрата. Каждый их плоский угол равен 90°, поэтому сумма составляет 3 · 90° = 270°, что меньше 360° и допускает выпуклую вершину.
3. Во всех вершинах получается один и тот же набор: три равных прямых угла, расположенных вокруг общей вершины. Следовательно, многогранные углы одинаковы, и отдельная вершина не отличается от остальных своим устройством.

Ответ: да, при указанных условиях многогранник является правильным. В частности, его грани и вершины устроены так же, как у куба.

Три правильных пятиугольника у вершины

Условие. Проверим, может ли выпуклый правильный многогранник иметь правильные пятиугольники в качестве граней, если в каждой вершине сходятся три грани. Для начала достаточно проверить, сможет ли такое соединение образовать выпуклую вершину. Если необходимое условие не выполнено, существование многогранника невозможно.

1. Внутренний угол правильного n-угольника равен 180°(n − 2)/n. Для пятиугольника получаем 180° · 3/5 = 108°.
2. У вершины сходятся три такие грани, поэтому сумма плоских углов равна 3 · 108° = 324°.
3. Сравниваем результат с 360°: 324° < 360°. Условие выпуклости выполнено, значит, такое расположение граней у вершины возможно.

Ответ: да, условие на сумму углов не запрещает такой многогранник. С правильными пятиугольниками и тремя гранями у каждой вершины существует правильный додекаэдр.

Три правильных шестиугольника у вершины

Условие. Исследуем возможность выпуклого правильного многогранника, если его грани — правильные шестиугольники и у каждой вершины сходятся три грани. Здесь важно проверить именно строгую границу 360°: одной неотрицательной суммы недостаточно. Равенство этой границе не образует выпуклую вершину.

1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 180° · (6 − 2)/6 = 120°.
2. Три грани дают сумму 3 · 120° = 360°. Их плоские углы полностью заполняют круг вокруг вершины.
3. Для выпуклого многогранника сумма должна быть строго меньше 360°. Равенство означает, что выпуклый многогранный угол в этой точке не образуется.

Ответ: нет, такой выпуклый правильный многогранник существовать не может.

Типичные ошибки

• Считать достаточным, что все грани — правильные многоугольники. Так можно не заметить, что вершины устроены неодинаково: число сходящихся граней или их расположение может различаться. Проверяйте не только каждую грань, но и многогранные углы при вершинах.
• Считать достаточным равенство граней. Равные фигуры могут соединяться в вершинах по-разному, поэтому поверхность всё ещё может быть устроена неравномерно. Для самопроверки сравните число граней и набор плоских углов у разных вершин.
• Путать равенство граней с одинаковой формой. Например, квадраты разных размеров имеют одну форму, но не равны. Убедитесь, что грани совпадают и по форме, и по размеру, то есть их можно совместить движением.
• Забывать о строгом условии для суммы углов. Иногда считают, что достаточно суммы, не превышающей 360°, и принимают равенство за допустимый случай. Запишите именно неравенство «меньше 360°» и проверьте результат: сумма 360° выпуклой вершины не образует.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужно знать понятия выпуклого многогранника, грани, ребра и вершины, а также уметь находить внутренний угол правильного многоугольника. Эти знания позволяют проверять, могут ли одинаковые грани составить выпуклую вершину. Далее понятие правильного многогранника понадобится при изучении пяти типов таких тел, их симметрий и развёрток. На этой основе также рассматривают вычисление площадей поверхности и объёмов.

Что запомнить

• Правильный многогранник должен быть выпуклым.
• Все его грани — равные правильные многоугольники.
• Во всех вершинах сходятся одинаково устроенные многогранные углы.
• При выпуклой вершине сумма плоских углов меньше 360°.
• Одних правильных граней недостаточно для правильности всего многогранника.
• Сочетание условий на грани и вершины ограничивает число типов правильных многогранников.