7.2*. Ограниченность числа видов правильных многогранников

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком лежит внутри него. Это определение позволяет говорить об одном и том же устройстве каждой вершины и искать все возможные фигуры.

Правильный n-угольник — правильная грань многогранника, имеющая n сторон и n равных углов. Здесь n обозначает число сторон каждой грани: например, при n = 3 грани треугольные, а при n = 4 — квадратные. Это обозначение помогает выразить угол грани одной формулой для любого числа сторон.

Многогранный угол при вершине — часть пространства, образованная гранями, сходящимися в одной вершине. У каждой такой грани есть плоский угол с вершиной в общей точке; именно эти плоские углы складывают, рассматривая вершину многогранника. Так пространственное устройство вершины сводится к вычислению суммы обычных углов.

Вид правильного многогранника задаётся формой грани и числом граней, сходящихся в вершине. Первое число показывает, какой правильный многоугольник образует каждую грань, а второе — как устроен многогранный угол. Эта пара обозначений позволяет систематически перечислить возможные виды, а не угадывать их по рисункам.

Как это устроено

Рассмотрим одну вершину выпуклого многогранника и все грани, которые к ней примыкают. Их плоские углы расположены вокруг общей точки, но вместе они не заполняют плоскость: иначе грани сомкнулись бы в плоскую фигуру, а не ограничивали выпуклое тело. Поэтому сумма углов при вершине строго меньше полного угла, то есть меньше 360°.

У правильного n-угольника внутренний угол равен (n − 2)·180°/n. Формула получается потому, что многоугольник можно разбить диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника, а сумма углов каждого треугольника равна 180°. В вершине многогранника должно сходиться не менее трёх граней: две соседние грани имеют общее ребро, но ещё не замыкают пространственный угол.

Обозначим через k число граней при вершине. Поскольку все грани одинаковы, каждый из k плоских углов равен углу правильного n-угольника. Их сумма должна быть меньше 360°, поэтому k·(n − 2)·180°/n < 360°. После сокращения на 180° получаем k(n − 2) < 2n; это условие ограничивает возможные целые числа n и k.

Переберём значения n, помня, что n ≥ 3 и k ≥ 3. При n = 3 неравенство даёт k < 6, поэтому подходят k = 3, 4, 5; при n = 4 получается k < 4, то есть k = 3. При n = 5 имеем k < 10/3, поэтому снова подходит только k = 3; если n ≥ 6, то 2n/(n − 2) ≤ 3, так что целого k ≥ 3 уже нет.

Получились пять пар: (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3). В указанном порядке им соответствуют тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Каждая из этих фигур действительно существует; других сочетаний условие для выпуклой вершины не допускает, поэтому иных видов правильных многогранников быть не может.

Пять правильных многогранников

Чтобы определить многогранник по таблице, найдите его грань и число граней при вершине — эта пара однозначно указывает на строку. Остальные столбцы дают числа граней, вершин и рёбер всего тела. Например, у куба по три квадратные грани сходятся в каждой вершине.

Разбор задач

Могут ли гранями быть правильные шестиугольники?

Условие. Проверить, существует ли правильный многогранник с правильными шестиугольниками в качестве граней. Решение. Сначала найдём внутренний угол такой грани: при n = 6 он равен (6 − 2)·180°/6 = 120°. В каждой вершине требуется не менее трёх граней.

1. Обозначим через k число шестиугольных граней при вершине. Их углы в сумме равны 120°·k, и для выпуклого многогранника это значение должно быть меньше 360°. Подставляем минимальное возможное k = 3: сумма уже составляет 360°.

2. При большем k сумма окажется ещё больше 360°, а равенство тоже не подходит, поскольку нужно строгое неравенство. Значит, никакое целое k ≥ 3 условию не удовлетворяет. Такой правильный многогранник невозможен.

Ответ: нет, правильный многогранник с правильными шестиугольными гранями не существует.

Сколько треугольных граней может сходиться в вершине?

Условие. Грани — правильные треугольники; требуется найти все возможные числа граней при вершине. Решение. Угол равностороннего треугольника равен 60°. Обозначим число граней при вершине через k и применим условие для выпуклого многогранника.

1. Составляем неравенство 60°·k < 360° и делим обе части на 60°. Получаем k < 6. При этом к вершине должны примыкать хотя бы три грани, поэтому целое k может быть только 3, 4 или 5.

2. Проверяем найденные значения: суммы углов равны соответственно 180°, 240° и 300°, и каждая меньше 360°. Все три варианта встречаются у правильных многогранников: это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

Ответ: при вершине могут сходиться 3, 4 или 5 правильных треугольников.

Почему правильных многогранников ровно пять?

Условие. Доказать, что других видов нет, и назвать каждый вид по числу сторон грани и числу граней при вершине. Решение. Пусть n — число сторон грани, а k — число граней при вершине. Для правильного многоугольника n ≥ 3, а у многогранного угла k ≥ 3.

1. Угол одной грани равен (n − 2)·180°/n, поэтому сумма углов при вершине меньше 360° только при k(n − 2) < 2n. Если n = 3, получаем k = 3, 4 или 5; если n = 4, подходит только k = 3. Если n = 5, также подходит только k = 3.

2. При n ≥ 6 правая граница для k равна 2n/(n − 2) и не превосходит 3, поэтому целого k ≥ 3, строго меньшего этой границы, нет. Значит, перечисленные пять пар исчерпывают все варианты. Парам (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) соответствуют тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Ответ: существует ровно пять видов правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.

Типичные ошибки

Принимать сумму углов за 360°. Такое равенство означало бы полный угол вокруг вершины, но выпуклый многогранный угол занимает лишь часть пространства. Равенство иногда кажется допустимым, если представить грани разложенными вокруг точки в плоскости. Проверка проста: в условии всегда должно стоять строгое «меньше 360°».

Допускать только две грани при вершине. Две грани могут образовать угол вдоль ребра, но не замыкают вокруг вершины пространственную форму. Ошибку провоцирует привычка считать любые две пересекающиеся поверхности достаточными. Проверьте, что в неравенстве для k учтено k ≥ 3.

Подставлять внешний угол вместо внутреннего. При подсчёте вокруг вершины нужны углы именно граней, примыкающие к этой вершине. Внешний угол связан с внутренним, но описывает поворот стороны многоугольника, а не угол грани внутри многогранника. Перед подстановкой проверьте: для квадрата в формуле должен получиться угол 90°, а не 90° как поворот — важно, что речь идёт о внутреннем угле.

Считать неравенство доказательством существования. Оно исключает невозможные пары, но само по себе не строит многогранник с оставшимися параметрами. Эту ошибку допускают, принимая необходимое условие за достаточное. Для полного вывода нужно назвать реальные фигуры для каждой из пяти пар и проверить, что иных пар не осталось.

Связь с другими темами

Для разбора нужны формула внутреннего угла правильного многоугольника и свойства выпуклого многогранного угла: они дают величину каждого угла и строгое ограничение 360°. Числа вершин, рёбер и граней из таблицы связаны с формулой Эйлера для выпуклых многогранников: В − Р + Г = 2. Она помогает проверять подсчёты и связывает устройство поверхности с общим числом элементов тела.

Что запомнить

• В каждой вершине выпуклого многогранника сумма плоских углов граней меньше 360°.
• В правильном многограннике при каждой вершине сходится одинаковое число равных правильных граней.
• Угол правильного n-угольника равен (n − 2)·180°/n.
• Для грани с n сторонами и k граней при вершине выполняется k·(n − 2)·180°/n < 360°.
• Условию отвечают только пять пар (n, k): (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3).
• Существует ровно пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.