"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Тетраэдр, куб и октаэдр — многогранники, которые различаются числом и формой граней, а также тем, как грани сходятся в вершинах. Их изучение помогает понять устройство пространственных тел, считать их элементы, площади поверхности и объёмы. Правильные тетраэдр, куб и октаэдр состоят из одинаковых правильных многоугольников, но устроены по-разному. Сравнивая грани, рёбра и вершины, можно проверить описание тела и не путать его название с общим числом граней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тетраэдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями. Если он правильный, все его грани — равные равносторонние треугольники. Это уточнение помогает отличать правильный тетраэдр от любого тела с четырьмя треугольными гранями.
Гексаэдр — многогранник с шестью гранями. Правильный гексаэдр — куб, у которого все грани являются равными квадратами. Поэтому слово «гексаэдр» указывает на число граней, а название «куб» — на конкретное правильное тело.
Октаэдр — многогранник с восемью гранями. У правильного октаэдра все грани — равные равносторонние треугольники. Определение позволяет понять его форму и не спутать число граней с числом вершин.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклость означает, что у тела нет вогнутых участков поверхности. По этому определению проверяют не отдельную грань, а устройство тела целиком.
Грани, рёбра и вершины — основные элементы многогранника: грани являются его плоскими сторонами, рёбра образуют их границы, а вершины — точки встречи рёбер. Подсчёт этих элементов помогает отличать тела даже тогда, когда их изображение на бумаге выглядит непривычно. Например, у тетраэдра 4 грани, у куба 6, а у октаэдра 8; сверка вершин и рёбер дополнительно выявляет ошибки в описании.
В правильном тетраэдре при каждой вершине сходятся три грани, потому что каждая из четырёх треугольных граней соединена с тремя другими по рёбрам. Три равносторонних треугольника образуют вокруг вершины замкнутый угол, а оставшиеся стороны соединяются в рёбра тела. У куба также сходятся три грани, но они квадратные: в каждой вершине встречаются три ребра, и каждое ребро принадлежит двум граням.
Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые пирамиды с квадратными основаниями, соединённые основаниями. Поэтому у него восемь треугольных граней и шесть вершин: четыре вокруг общей квадратной «середины» и по одной вершине у каждой пирамиды. В каждой вершине сходятся четыре треугольника. Октаэдр связан с кубом так: если расположить вершины октаэдра в центрах граней куба и соединить соседние точки, получится октаэдр.
Поверхность многогранника составляется из плоских многоугольников, которые соединены сторонами. Когда две грани соседствуют, у них есть общее ребро: иначе они соприкасались бы лишь в точке или были бы отдельными частями поверхности. При подсчёте сторон граней каждое ребро учитывается дважды, по одному разу для каждой из двух граней. Поэтому, например, у октаэдра 8 × 3 ÷ 2 = 12 рёбер.
Тетраэдр, куб и октаэдр — правильные многогранники, потому что у каждого все грани равны и правильны, а число граней у каждой вершины одинаково. Различаются они формой и количеством граней: у тетраэдра и октаэдра грани треугольные, но их соответственно 4 и 8, а у куба 6 квадратных граней. Число и форма граней определяют, какие плоские части складываются в поверхность тела.
| Свойство | Тетраэдр | Гексаэдр (куб) | Октаэдр |
|---|---|---|---|
| Число граней | 4 | 6 | 8 |
| Форма каждой грани | Равносторонний треугольник | Квадрат | Равносторонний треугольник |
| Число вершин | 4 | 8 | 6 |
| Число рёбер | 6 | 12 | 12 |
| Число граней, сходящихся в одной вершине | 3 | 3 | 4 |
Сначала сравнивайте число граней и их форму, затем проверяйте вершины и рёбра. Такая сверка помогает обнаружить, например, ошибку, если октаэдру приписали восемь вершин. Число граней, сходящихся в вершине, показывает, как именно устроено тело вокруг каждой вершины.
Условие: ребро правильного тетраэдра равно 3 см. Нужно указать форму его граней и найти число граней, вершин и рёбер. Длина ребра на количество элементов не влияет, но подтверждает, что все стороны каждой грани одинаковы.
Ответ: грани — равные равносторонние треугольники; 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Условие: ребро куба равно 4 см. Требуется найти площадь поверхности и объём. У куба шесть одинаковых квадратных граней, поэтому сначала достаточно найти площадь одной грани, а затем умножить её на 6.
Ответ: площадь поверхности — 96 см², объём — 64 см³. Квадратные единицы относятся к площади, а кубические — к объёму, поэтому их не следует смешивать.
Условие: ребро правильного октаэдра равно 2 см. Нужно найти полную площадь поверхности и объяснить связь числа рёбер с числом треугольных граней. Вначале найдём площадь одной грани, затем учтём все восемь одинаковых треугольников.
Ответ: площадь поверхности равна 8√3 см², рёбер — 12. Деление на два нужно потому, что при подсчёте по граням каждое общее ребро было учтено дважды.
Ошибка: называть куб просто гексаэдром, словно эти слова обозначают одно и то же. Гексаэдр — любой многогранник с шестью гранями, а правильный гексаэдр — именно куб; ошибку допускают, ориентируясь только на число граней. Проверьте, являются ли все шесть граней равными квадратами: если нет, тело не куб.
Ошибка: путать число граней и число вершин октаэдра. В его названии отражены восемь граней, но вершин у правильного октаэдра шесть; зрительное впечатление от рисунка иногда мешает пересчитать элементы. Проверка по отдельности даёт 8 треугольных граней и 6 точек встречи рёбер.
Ошибка: считать рёбра суммой сторон всех граней без поправки. Кажется естественным сложить стороны многоугольников, но каждое общее ребро при этом попадает в сумму два раза. Разделите полученное число на 2 и сверьте результат: например, у куба 6 × 4 ÷ 2 = 12 рёбер.
Ошибка: считать правильным любой тетраэдр. Четыре треугольные грани определяют тетраэдр, но не гарантируют, что грани правильные и равные; достаточно нарушить одно из этих условий, чтобы тело не было правильным. Проверьте все грани: они должны быть равными равносторонними треугольниками.
Для изучения этих тел нужны определения многогранника, грани, ребра и вершины, а также свойства многоугольников и умение вычислять их площади. Далее эти знания применяются при построении сечений многогранников, когда выясняют форму фигуры, полученной пересечением тела плоскостью. Подсчёт площади граней помогает находить площадь поверхности, а знание устройства тела — разбираться в формулах объёма. Связь куба и октаэдра пригодится при изучении взаимного расположения многогранников и их симметрии.
Чем гексаэдр отличается от куба?
Гексаэдр — это любой многогранник с шестью гранями, а куб — правильный гексаэдр. У куба все грани являются равными квадратами, и в каждой вершине сходятся три грани. Значит, не каждый гексаэдр — куб.
Почему у правильного октаэдра восемь граней, но только шесть вершин?
Грани и вершины — разные элементы многогранника, поэтому их количества не обязаны совпадать. У октаэдра восемь треугольных граней, а вершины расположены в шести точках. В каждой вершине сходятся четыре грани.
Как определить, является ли тетраэдр правильным?
Нужно проверить, что все четыре грани — равные равносторонние треугольники. Если хотя бы одна грань отличается по форме или размеру, тетраэдр не является правильным. Равенство только рёбер само по себе не заменяет проверку формы граней.
Почему при подсчёте рёбер по граням каждое ребро учитывается дважды?
Каждое ребро лежит на границе двух соседних граней. Поэтому при суммировании числа сторон всех граней одно и то же ребро попадает в подсчёт со стороны каждой из этих граней. Чтобы получить число рёбер многогранника, сумму нужно разделить на 2.
Какие многогранники называются правильными?
Это выпуклые многогранники, у которых все грани — равные правильные многоугольники. Кроме того, в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклость означает, что поверхность не имеет вогнутых участков.
7.3. Тетраэдр, гексаэдр (куб) и октаэдр
