7.4*. Октаэдр и икосаэдр

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Грань — плоская многоугольная часть поверхности, ребро — её сторона, а вершина — точка встречи рёбер. Это определение помогает отличить правильные тела от произвольных: недостаточно, чтобы одинаковыми были только грани, — одинаковым должно быть и устройство каждой вершины.

Октаэдр — правильный многогранник с восемью равными гранями-треугольниками. Все его грани — равносторонние треугольники, а само тело можно представить как две одинаковые квадратные пирамиды, соединённые основаниями. У октаэдра 6 вершин: четыре лежат по кругу в общей средней плоскости, ещё по одной расположено сверху и снизу. Такое представление помогает мысленно увидеть, как тело собирается из граней.

Икосаэдр — правильный многогранник с двадцатью равными гранями-треугольниками. Его вершины можно расположить так: две находятся у противоположных «полюсов», а десять образуют пояс между ними; вокруг каждой вершины сходятся пять граней. Это описание показывает, что у икосаэдра более сложное расположение граней, чем у октаэдра. По числу вершин, рёбер и граней его удобно отличать от других правильных тел.

Как это устроено

В одной вершине октаэдра сходятся четыре равносторонних треугольника. Угол каждого такого треугольника равен 60°, поэтому сумма углов вокруг вершины составляет 4 · 60° = 240°. Если бы сумма была 360°, грани могли бы лечь в одну плоскость; здесь остаётся 120° до полного оборота, и поверхность загибается, образуя выпуклое тело. Так объясняется, почему четыре грани могут встретиться в вершине октаэдра.

В икосаэдре у вершины встречаются пять равносторонних треугольников, и их углы дают 5 · 60° = 300°. Остаётся 60° до плоского полного оборота, поэтому грани продолжают сгибаться и образуют выпуклую поверхность. Шесть таких углов дали бы ровно 360°: треугольники развернулись бы в плоскость, а не окружили вершину выпуклого тела. Поэтому для икосаэдра подходят пять граней на вершину.

Число рёбер можно получить из подсчёта сторон всех граней. У октаэдра восемь треугольников, значит, в сумме у них 8 · 3 = 24 стороны; у икосаэдра двадцать треугольников дают 20 · 3 = 60 сторон. Но стороны в таком подсчёте не совпадают с числом рёбер: каждое ребро разделяют две соседние грани, и оно посчитано дважды. Поэтому общую сумму делят на два: у октаэдра 12 рёбер, у икосаэдра 30.

Формула Эйлера для выпуклого многогранника связывает число вершин В, рёбер Р и граней Г: В − Р + Г = 2. Для октаэдра получается 6 − 12 + 8 = 2, а для икосаэдра — 12 − 30 + 20 = 2. Равенство служит проверкой: если в подсчётах оно нарушилось, стоит перепроверить числа. Но сама формула не объясняет, как расположены грани, и не заменяет описание строения тела.

Сравнивать многогранники полезно не только по рисунку или модели, где часть граней может быть скрыта. Сначала установите число граней и вершин, затем проследите, сколько граней сходится в каждой вершине и как соединены соседние грани рёбрами. У октаэдра вершины разделяются на две противоположные и четыре средние, а у икосаэдра есть два полюса и пояс из десяти вершин. Такой анализ показывает различия в строении даже тогда, когда внешний вид моделей кажется похожим.

Сравнение октаэдра и икосаэдра

Сравнивайте строки таблицы по отдельности: одинаковая форма граней не означает одинаковое строение тел. Числа рёбер можно проверить по общему числу сторон треугольников, а числа вершин, рёбер и граней — по формуле Эйлера. Углы при вершине помогают понять, почему грани складываются в выпуклую поверхность.

Разбор задач

Задача 1. У правильного октаэдра каждая грань — треугольник. Найдите число рёбер, если известно число граней. Чтобы не принять стороны граней за отдельные рёбра, сначала считаем все стороны, а затем учитываем, что каждое ребро принадлежит двум граням.

1. У октаэдра 8 граней, в каждой по 3 стороны.
2. Всего получается 8 · 3 = 24 стороны граней.
3. Одно ребро посчитано у двух соседних граней, поэтому делим 24 на 2: 24 : 2 = 12.

Ответ: у октаэдра 12 рёбер. Проверка: 6 − 12 + 8 = 2, как и должно быть для выпуклого многогранника. Такой способ подходит, когда известны число граней и число сторон в каждой грани.

Задача 2. У правильного многогранника 12 вершин и 30 рёбер. По формуле Эйлера найдите число граней и установите, соответствует ли оно икосаэдру. Формула даёт нужную связь между тремя числами, но сравнение с икосаэдром требует отдельно сверить полученный результат с его характеристиками.

1. Записываем формулу Эйлера: В − Р + Г = 2.
2. Подставляем данные: 12 − 30 + Г = 2.
3. Получаем Г − 18 = 2, значит, Г = 20.
4. У икосаэдра также 20 граней, 12 вершин и 30 рёбер, следовательно, числа совпадают.

Ответ: граней 20; по числу вершин, рёбер и граней данные соответствуют икосаэдру. Формула Эйлера проверяет согласованность подсчётов, но одного совпадения этих чисел недостаточно, чтобы доказать геометрическое тождество любых двух тел. Для этого нужно также знать форму граней и устройство вершин.

Задача 3. Ребро правильного октаэдра равно a. Найдите площадь его полной поверхности. Поскольку все грани одинаковые, достаточно вычислить площадь одного треугольника и умножить её на восемь; для этого используем формулу площади равностороннего треугольника.

1. Площадь одной грани со стороной a равна (√3/4)a².
2. У октаэдра 8 одинаковых граней, поэтому площадь поверхности равна 8 · (√3/4)a².
3. Сокращаем числовые множители: 8 · √3/4 = 2√3.

Ответ: площадь полной поверхности равна 2√3a². Здесь считается вся наружная поверхность тела, поэтому площади всех восьми треугольников складываются. Единица измерения результата будет квадратной, например см², если ребро задано в сантиметрах.

Типичные ошибки

При подсчёте рёбер иногда складывают стороны всех граней и считают результат числом рёбер. Ошибка возникает потому, что у каждой грани сторона выглядит как отдельный отрезок, хотя у соседней грани это тот же отрезок. Нужно делить сумму сторон граней на два; полученное число дополнительно можно проверить по формуле Эйлера.

Число граней октаэдра легко перепутать с числом его вершин: название подсказывает восемь, но не уточняет, чего именно восемь. Граней у него 8, вершин — 6, рёбер — 12. Чтобы проверить себя, отдельно посчитайте каждый тип элементов или подставьте три числа в формулу В − Р + Г = 2.

При подсчёте углов вокруг вершины можно учесть только один треугольник или не все грани, которые там сходятся. Так получают неверную сумму и ошибаются в объяснении выпуклости. Сначала определите число прилегающих граней, затем умножьте его на 60°: для октаэдра это 4 · 60°, для икосаэдра — 5 · 60°.

Формула Эйлера — не доказательство существования конкретного многогранника и не описание его формы. Её принимают за полное решение, потому что равенство связывает важные числа тела. Проверяйте по ней согласованность подсчётов, а строение устанавливайте отдельно: учитывайте форму граней, их соединение и число граней при каждой вершине.

Связь с другими темами

Для изучения октаэдра и икосаэдра нужно знать, что такое грань, ребро и вершина, и уметь применять формулу Эйлера. При вычислении площади поверхности пригодятся формула площади равностороннего треугольника и навык складывать площади одинаковых граней. Сравнение строения многогранников помогает дальше изучать их сечения, симметрии и пространственные модели. В этих темах важно представлять не только отдельные грани, но и то, как они соединены в пространстве.

Что запомнить

• У октаэдра 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин.
• У икосаэдра 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин.
• Грани обоих многогранников — равносторонние треугольники.
• В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани.
• В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней.
• Для каждого выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера: В − Р + Г = 2.