116. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Это определение сразу задаёт и форму граней, и одинаковое устройство всего тела. Оно помогает отличать правильные многогранники от просто симметричных фигур.

Тетраэдр — правильный многогранник, составленный из четырёх равных равносторонних треугольников. В каждой его вершине сходятся три грани. Тетраэдр является самым простым из правильных многогранников.

Октаэдр — правильный многогранник, составленный из восьми равных равносторонних треугольников. В каждой вершине у него сходятся четыре грани. Название связано с числом граней: «окта» означает восемь.

Икосаэдр — правильный многогранник, составленный из двадцати равных равносторонних треугольников. В каждой вершине сходятся пять граней. Эти определения нужны, чтобы связывать название тела с его гранями и строением вершин.

Как это устроено

Одних равных граней недостаточно для правильности многогранника. Даже если все грани имеют одну и ту же форму, в одних вершинах может сходиться три грани, а в других — четыре. Тогда вершины устроены по-разному, и многогранник не будет правильным.

Выпуклая вершина получается только тогда, когда сумма плоских углов всех граней при ней меньше 360°. При сумме 360° грани фактически распрямляются в одну плоскость, поэтому объёмный угол исчезает. При большей сумме грани начинают перекрываться, и выпуклая вершина невозможна.

У равностороннего треугольника каждый угол равен 60°. В вершине должно сходиться не менее трёх граней, а условие выпуклости даёт n · 60° < 360°, то есть n < 6. Поэтому возможны только 3, 4 или 5 треугольников: им соответствуют тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.

У квадрата угол равен 90°. Три квадрата дают 270°, что меньше 360°, а четыре дают ровно 360° и не образуют выпуклую вершину. Поэтому из квадратов получается только один правильный многогранник — куб, или гексаэдр.

У правильного пятиугольника внутренний угол равен 108°. Три таких угла дают 324°, поэтому возможен додекаэдр. У правильного шестиугольника угол уже равен 120°, а три угла составляют 360°; у многоугольников с большим числом сторон угол ещё больше, поэтому с шестью и более сторонами выпуклый правильный многогранник невозможен.

Пять правильных многогранников

Таблица позволяет быстро сравнить пять тел по форме граней и числу элементов. Последний столбец показывает, сколько граней встречается в одной вершине. Для проверки подсчётов можно использовать формулу Эйлера: В − Р + Г = 2.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Можно ли составить выпуклый правильный многогранник из равносторонних треугольников так, чтобы в каждой вершине сходились шесть граней?

1. У равностороннего треугольника каждый плоский угол равен 60°.
2. Если в вершине сходятся шесть граней, сумма углов равна 6 · 60° = 360°.
3. При такой сумме вершина распрямляется и не является выпуклой объёмной вершиной.

Ответ: нет, такой выпуклый правильный многогранник составить нельзя.

Задача 2

Условие. У правильного многогранника грани — квадраты. Определить, сколько квадратов сходится в вершине и какой это многогранник.

1. У квадрата угол равен 90°.
2. В выпуклой вершине нужно взять не менее трёх граней, но их сумма должна быть меньше 360°.
3. Три квадрата дают 270°, а четыре — 360°, поэтому возможны только три квадрата.
4. Правильный многогранник с квадратными гранями и тремя гранями в вершине — куб.

Ответ: в каждой вершине сходятся три квадрата; это куб, или гексаэдр.

Задача 3

Условие. Определить число вершин и рёбер правильного додекаэдра, если его грани — правильные пятиугольники и их 12.

1. Каждая из 12 граней имеет 5 сторон, поэтому при подсчёте получаем 12 · 5 = 60 сторон граней.
2. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, число рёбер равно Р = 60 / 2 = 30.
3. Подставим данные в формулу Эйлера: В − 30 + 12 = 2.
4. Отсюда В = 20.

Ответ: у додекаэдра 30 рёбер и 20 вершин.

Типичные ошибки

Ошибка: считать правильным любой многогранник с равными гранями. Её допускают, потому что замечают только одинаковую форму поверхностей. Проверьте также, одинаково ли число граней в каждой вершине.

Ошибка: сравнивать с 360° угол одной грани, а не сумму углов всех граней при вершине. Один угол показывает свойства отдельной грани, но выпуклость вершины зависит от их общего углового «оборота». Сначала умножьте угол грани на число сходящихся граней.

Ошибка: считать каждое ребро отдельным при подсчёте по граням. Одно ребро принадлежит двум соседним граням, поэтому сумму сторон всех граней нужно разделить на два. После этого полезно проверить результат формулой Эйлера.

Ошибка: путать число граней, рёбер и вершин. Число сторон одной грани относится только к одной поверхности и не равно числу рёбер всего тела. Подписывайте в решении обозначения Г, Р и В, чтобы не смешать величины.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужны свойства правильных многоугольников, прежде всего формулы и значения их внутренних углов. По этим углам проверяют, может ли несколько граней образовать выпуклую вершину.

Также используется сумма углов при вершине и формула Эйлера для выпуклого многогранника: В − Р + Г = 2. Она позволяет находить неизвестное число вершин, рёбер или граней.

Правильные многогранники связаны с пространственными телами, их развёртками и симметрией. Эти знания применяют и в задачах на объёмы.

Что запомнить

• Правильный многогранник выпуклый, а его грани — равные правильные многоугольники.
• Во всех вершинах правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Сумма плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
• Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников.
• Их названия: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера: В − Р + Г = 2.