"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Тело вращения возникает, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой: её точки движутся по окружностям, а точки на оси остаются на месте. Если вращать не всю фигуру, а только её границу, получается поверхность вращения. Так из прямоугольника строят цилиндр, из прямоугольного треугольника — конус, а из полукруга — шар. Понимание оси вращения помогает определить размеры полученного тела и не спутать его с поверхностью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело вращения — пространственная фигура, которую получают, вращая плоскую фигуру вокруг прямой. Например, так из прямоугольника можно получить цилиндр. Это определение помогает представить, откуда берётся объёмная форма и как её размеры связаны с исходной фигурой.
Поверхность вращения — поверхность, образованная вращением линии вокруг прямой. Прямая, вокруг которой происходит вращение, называется осью вращения. Понятие поверхности нужно, чтобы отдельно описывать границу тела, не включая его внутренние точки.
Цилиндр можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон. Эта сторона становится осью, а противоположная ей сторона движется по окружности. Такое построение позволяет увидеть, почему у цилиндра есть два круглых основания и боковая поверхность.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет, лежащий на оси, задаёт высоту, а второй катет определяет радиус основания. Это помогает связать элементы конуса со сторонами исходного треугольника.
Представь плоскую фигуру и прямую, вокруг которой её поворачивают. При движении каждая точка фигуры проходит путь, и все положения фигуры вместе заполняют пространственную область. Поэтому вращение всей фигуры создаёт тело, а вращение только её границы оставляет поверхность. Различие зависит от того, движется ли внутренность исходной фигуры или только её контур.
Точки, лежащие на оси, не меняют положения: они находятся прямо на линии вращения. Точка вне оси при повороте сохраняет расстояние до неё и потому описывает окружность с центром на оси. Чем дальше точка от оси, тем больше радиус этой окружности. Из таких траекторий складываются поверхности и объёмные тела вращения.
Если вращать прямоугольник вокруг одной стороны, эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. Противоположная ей сторона при движении описывает окружность, а потому задаёт радиус кругового основания. Две оставшиеся стороны описывают боковую поверхность цилиндра; его основания возникают из сторон, расположенных перпендикулярно оси. Так геометрическая форма прямоугольника объясняет устройство цилиндра.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет не перемещается и становится осью конуса, то есть его высотой. Второй катет вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и описывает круг основания, поэтому его длина равна радиусу. Гипотенуза при движении образует боковую поверхность. Если выбрать другой катет, ось и радиус поменяются ролями, поэтому конус получится с другими размерами.
Полукруг содержит и дугу, и точки внутри неё. При вращении вокруг диаметра точки полукруга проходят окружности разного радиуса, заполняя весь шар. Точки дуги образуют только внешнюю границу — сферу. Значит, шар обозначает объёмное тело, а сфера — его поверхность, как оболочка без внутренней части.
| Объект | Исходная фигура и ось вращения | Что образует основание или границу | Как различить тело и поверхность |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | Прямоугольник вращают вокруг одной из сторон. | Противоположная сторона описывает окружность основания; другие стороны образуют боковую поверхность. | Вращение прямоугольника даёт тело, вращение его сторон — поверхность цилиндра. |
| Конус | Прямоугольный треугольник вращают вокруг катета. | Другой катет описывает круг основания, гипотенуза образует боковую поверхность. | Вращение треугольника даёт тело конуса, вращение его сторон — поверхность. |
| Шар и сфера | Полукруг или его дугу вращают вокруг диаметра. | Полукруг заполняет пространство шара, дуга образует сферу. | Шар включает внутренние точки, сфера является только внешней поверхностью. |
Сначала найди в таблице исходную фигуру и ось: они показывают, откуда берутся элементы тела. Затем проследи за движением сторон или дуги, чтобы определить основание и боковую границу. Последний столбец помогает не смешивать объёмное тело с поверхностью, ограничивающей его.
Задача 1. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг стороны длиной 5 см. Опиши полученное тело и назови его радиус и высоту. Чтобы определить размеры, сначала нужно найти сторону, которая остаётся на оси, а затем посмотреть, какая сторона движется по окружности.
Ответ: получается цилиндр высотой 5 см и радиусом 3 см. Проверка проста: высота совпадает с выбранной осью, а радиус — с расстоянием от оси до противоположной стороны. Эти величины нельзя менять местами.
Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают сначала вокруг катета 6 см, затем вокруг катета 8 см. Сравни полученные конусы. В каждом случае ось определяет высоту, а второй катет, перпендикулярный оси, — радиус основания.
Ответ: первый конус имеет высоту 6 см и радиус 8 см, второй — высоту 8 см и радиус 6 см. Общая гипотенуза в обоих случаях образует боковую поверхность. Чтобы не перепутать размеры, каждый раз отдельно называй катет, вокруг которого происходит вращение.
Задача 3. Полукруг радиуса 4 см вращают вокруг его диаметра. Назови полученное тело и поверхность, которую описывает дуга полукруга. Нужно различить движение всей фигуры и движение только её границы.
Ответ: получается шар радиуса 4 см, а дуга описывает сферу. Шар включает внутренние точки, тогда как сфера состоит из точек его поверхности. Диаметр полукруга служит осью вращения.
Называть сферу шаром — значит смешивать оболочку с заполненным телом. Ошибка возникает потому, что в обычной речи эти слова иногда используют как близкие по смыслу. Проверь себя: если речь только о внешней границе, это сфера, а если включены внутренние точки — шар.
Считать, что вращение прямоугольника и вращение его сторон дают один и тот же объект. Так происходит, если не учитывать внутреннюю часть фигуры. Проверь, что именно вращается: весь прямоугольник образует цилиндрическое тело, а его стороны описывают поверхность.
Приписывать радиус и высоту не тем сторонам исходной фигуры. Обычно путают их, когда запоминают вид тела, но не отмечают ось вращения. Проверь: сторона или катет на оси задаёт высоту, а перпендикулярная ей длина до оси — радиус основания.
Думать, что при вращении перемещаются все точки, в том числе точки оси. Такое представление появляется, если воспринимать поворот как движение всей фигуры в пространстве. Проверь расположение точки: лежащая на оси остаётся на месте, а точка вне оси описывает окружность.
Чтобы представить вращение, нужно знать окружность и круг, прямоугольник и прямоугольный треугольник, а также понимать, что значит вращать фигуру вокруг прямой. Эти знания помогают определить, какие точки движутся и какие размеры полученного тела соответствуют сторонам исходной фигуры. Позже тела и поверхности вращения понадобятся при изучении цилиндра, конуса, шара и сферы, их сечений, площадей поверхностей и объёмов. Поэтому умение находить ось и элементы тела станет основой для решения задач на вычисления.
Чем тело вращения отличается от поверхности вращения?
Тело вращения — объёмная фигура, полученная вращением всей плоской фигуры. Поверхность вращения — только граница, которую образует вращающаяся линия. Например, вращение полукруга даёт шар, а его дуги — сферу.
Какая фигура образует цилиндр при вращении и вокруг какой стороны её вращают?
Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона становится осью и высотой цилиндра, а противоположная ей сторона описывает окружность основания.
Как понять, какой катет прямоугольного треугольника будет высотой конуса?
Высотой конуса становится тот катет, вокруг которого вращают треугольник. Он лежит на оси вращения. Другой катет задаёт радиус основания.
Почему вращение полукруга даёт шар, а вращение его дуги — сферу?
Полукруг включает все точки внутри дуги, поэтому при вращении заполняется всё пространство шара. Дуга состоит только из граничных точек и при вращении образует внешнюю поверхность — сферу.
Может ли одна и та же фигура дать разные тела при вращении вокруг разных прямых?
Да, результат зависит от выбранной оси вращения. Например, при повороте прямоугольника вокруг разных сторон получаются цилиндры с разными высотой и радиусом. Перед определением размеров нужно сначала указать ось.
§25. Тела и поверхности вращения
