"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Цилиндр — тело с двумя равными кругами-основаниями в параллельных плоскостях и соединяющей их боковой поверхностью. Его можно представить как результат вращения прямоугольника вокруг одной из сторон. Для прямого цилиндра образующие равны высоте, осевое сечение является прямоугольником, а развёртка боковой поверхности — тоже прямоугольник. Эти свойства помогают описывать цилиндр и решать задачи о его сечениях и развёртках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью, которая соединяет их окружности. Круги расположены по разные стороны от этой поверхности и служат нижним и верхним основаниями. Такое описание помогает отличать всё тело от его отдельных частей.
Основания цилиндра — равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Равенство означает, что у кругов одинаковые радиусы, а значит, их можно совместить наложением. Основания задают форму цилиндра и используются при описании его высоты и сечений.
Боковая поверхность цилиндра — часть поверхности, соединяющая окружности оснований. Она огибает тело между кругами, но не включает сами основания. Это различие понадобится, например, при рассмотрении развёртки: в ней отдельно разворачивают именно боковую поверхность.
Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого цилиндра образующая перпендикулярна плоскостям оснований. Образующие позволяют проследить направление боковой поверхности; далее высоту будем обозначать h, радиус основания — r.
Представим прямоугольник, вращающийся вокруг одной из своих сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра, а параллельная ей противоположная сторона движется по окружности и образует боковую поверхность. Две другие стороны при вращении описывают круги, поэтому возникают основания. Так вращение объясняет, откуда берутся основные части цилиндра, а не просто перечисляет их.
При вращении прямоугольника оба описываемых круга имеют один и тот же радиус: расстояние от оси до вращающейся стороны постоянно. Поэтому основания равны. Они лежат в разных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а такие плоскости параллельны друг другу. Расстояние между ними равно длине стороны прямоугольника, совпавшей с осью; это и есть высота цилиндра.
В прямом цилиндре отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, направлены так же, как ось, и перпендикулярны плоскостям оснований. Эти отрезки являются образующими. Поскольку каждое из них проходит между теми же двумя параллельными плоскостями, их длина равна расстоянию между плоскостями. Значит, для прямого цилиндра образующая равна высоте, а все образующие параллельны оси.
Осевым называют сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. В каждом основании эта плоскость пересекает круг по диаметру, а боковую поверхность — по двум образующим. Получившаяся фигура имеет две параллельные стороны-образующие и два диаметра оснований, перпендикулярных им. Поэтому осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте и диаметру основания.
Если разрезать боковую поверхность прямого цилиндра вдоль образующей и развернуть её на плоскости, она станет прямоугольником. Его высота совпадает с высотой цилиндра, потому что образующие не меняют длину. Другая сторона равна длине окружности основания: при разворачивании окружность распрямляется в отрезок. Поэтому эта сторона равна 2πr, где r — радиус основания.
| Элемент или сечение | Как определяется | Основное свойство |
|---|---|---|
| Основания | Два круга по краям цилиндра | Равны и лежат в параллельных плоскостях |
| Ось | Прямая через центры оснований | Перпендикулярна плоскостям оснований прямого цилиндра |
| Образующая | Отрезок боковой поверхности между окружностями оснований | У прямого цилиндра параллельна оси и равна высоте |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | У прямого цилиндра равна образующей |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью через ось | Прямоугольник со сторонами h и 2r |
| Развёртка боковой поверхности | Боковая поверхность, разрезанная и расправленная на плоскости | Прямоугольник со сторонами h и 2πr |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, о каком элементе или сечении говорится в задаче, а затем найдите его основное свойство. Обозначения h и r помогают записывать длины: высоту и радиус основания. В осевом сечении ширина равна именно диаметру 2r, а не радиусу.
Условие: у прямого цилиндра радиус основания равен 3 см, а высота — 5 см. Требуется определить длину образующей и расстояние между плоскостями оснований. Радиус в этой задаче не нужен: оба искомых отрезка связаны с высотой.
Ответ: образующая — 5 см, расстояние между плоскостями оснований — 5 см.
Условие: радиус основания прямого цилиндра равен 4 см, высота — 6 см. Нужно найти стороны и периметр осевого сечения. Сначала определим форму сечения, а затем используем радиус, чтобы получить его ширину.
Ответ: стороны осевого сечения — 6 см и 8 см, периметр — 28 см.
Условие: развёртка боковой поверхности прямого цилиндра — прямоугольник со сторонами 10 см и 18 см. Требуется найти возможные радиус основания и высоту. Без дополнительного указания нельзя сразу выбрать, какая сторона прямоугольника отвечает за высоту.
Ответ: возможны пары h = 10 см, r = 9 / π см или h = 18 см, r = 5 / π см.
Ошибка — называть основанием цилиндра окружность. Так путают фигуру с её границей: окружность является линией, а круг включает все точки внутри неё. Проверьте себя вопросом: речь идёт только о контуре или о всей плоской части? Основание — круг, его граница — окружность.
Нельзя считать, что образующая всегда равна высоте. Это свойство прямого цилиндра, поскольку в нём образующие перпендикулярны основаниям; у наклонного цилиндра длина образующей может отличаться от расстояния между основаниями. Перед применением равенства уточните, что цилиндр прямой.
При построении осевого сечения иногда берут за его ширину радиус основания. Ошибка возникает потому, что в задаче дан именно радиус, но плоскость через ось пересекает основание по диаметру. Проверьте ширину вычислением 2r: стороны сечения должны быть равны высоте и диаметру.
Стороны развёртки не всегда однозначно показывают высоту и длину окружности. Их можно поменять местами, поэтому выбор только одного соответствия может привести к потере решения. Проверьте оба варианта, если условие не сообщает, какая сторона равна высоте.
Для изучения цилиндра нужны понятия круга, окружности, радиуса и диаметра: без них нельзя описать основания или найти ширину осевого сечения. Также понадобятся представления о параллельных плоскостях и перпендикулярности прямой и плоскости. Они помогают понять, почему основания прямого цилиндра параллельны, а высота перпендикулярна им.
Свойства цилиндра пригодятся при изучении площадей поверхностей и объёмов геометрических тел. Развёртка связывает пространственную фигуру с плоским прямоугольником и помогает решать практические задачи о материале для оболочки. Модель вращения также используется при описании тел, которые возникают при движении плоских фигур вокруг оси.
Чем круг основания отличается от окружности основания?
Круг — это часть плоскости внутри окружности вместе с её границей. Окружность — только замкнутая линия, которая ограничивает круг. Основанием цилиндра называют именно круг.
Как определить высоту цилиндра?
Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. У прямого цилиндра она равна длине образующей, потому что образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Всегда ли образующая цилиндра равна его высоте?
Нет, это верно для прямого цилиндра. Его образующие перпендикулярны основаниям, поэтому длина образующей равна расстоянию между плоскостями оснований. У наклонного цилиндра образующая может быть длиннее высоты.
Как выглядит осевое сечение цилиндра?
Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник. Его одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания.
Какие стороны имеет развёртка боковой поверхности цилиндра?
Развёртка боковой поверхности прямого цилиндра — прямоугольник. Его стороны равны высоте цилиндра и длине окружности основания, но по двум данным сторонам не всегда можно определить, какая из них чему соответствует.
117. Цилиндр
