125. Цилиндр

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное боковой поверхностью и двумя равными кругами, лежащими в параллельных плоскостях. Круги находятся по разные стороны тела, а боковая поверхность соединяет их границы. Это определение помогает отличить цилиндр от плоской фигуры и увидеть, из каких частей он состоит.

Основания цилиндра — два равных круга, ограничивающие тело с двух сторон. Они лежат в параллельных плоскостях, поэтому одно основание можно совместить с другим параллельным переносом. Знание оснований помогает определять форму и размеры цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра — поверхность, соединяющая окружности оснований. Она искривлена и не является плоской, хотя при разрезании и разворачивании превращается в прямоугольник. По этой части определения можно понять, где заканчиваются основания и начинается боковая часть тела.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. Это именно расстояние между плоскостями, а не просто любой отрезок на боковой поверхности. Высота нужна, чтобы описывать размер цилиндра и находить его по сечению.

Как это устроено

Представим прямоугольник и будем вращать его вокруг одной из сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью вращения, а противоположная ей сторона описывает окружность. Две остальные стороны при движении заметут боковую поверхность. Поэтому результатом вращения будет цилиндр, а длина стороны, вокруг которой вращают прямоугольник, станет высотой.

Круги на концах цилиндра равны, потому что при вращении прямоугольника каждая его сторона, перпендикулярная оси, описывает окружность одного и того же радиуса. Плоскости этих кругов параллельны: они перпендикулярны одной и той же прямой — оси. Такое устройство и объясняет, почему основания цилиндра одинаковы по форме и размеру, а не сужаются к одному концу.

Возьмём точку на окружности одного основания и соответствующую ей точку на другом. Отрезок между ними лежит на боковой поверхности и параллелен оси цилиндра. Его длина равна расстоянию между плоскостями оснований, то есть высоте. Такие отрезки называют образующими; в прямом круговом цилиндре все они равны между собой.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований. В цилиндре, полученном вращением прямоугольника, она совпадает с осью вращения, а поворот вокруг неё не меняет фигуру. Это показывает симметрию цилиндра: разные положения при вращении вокруг оси выглядят одинаково. Ось также помогает точно задать плоскость осевого сечения.

Проведём через ось плоскость. В каждом основании она пересечёт круг по отрезку, проходящему через центр, то есть по диаметру; эти два отрезка будут равны. Боковая поверхность даст ещё две стороны, параллельные оси и равные высоте. Получившийся четырёхугольник имеет прямые углы, поэтому осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания и высоте.

Части и элементы цилиндра

Пользуйся таблицей, когда нужно назвать элемент на изображении или проверить, как он расположен. Сначала найди основания, затем центры кругов и ось; после этого легче определить высоту и осевое сечение. Помни, что высота — величина, а не название конкретной поверхности.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке цилиндра нужно отметить основания, боковую поверхность и ось. Даже если цилиндр нарисован наклонно на листе, его элементы определяются не по виду рисунка, а по признакам. Начнём с двух равных кругов на концах тела и затем найдём центры этих кругов.

1. Отметь два равных круга, расположенных на концах цилиндра. Это основания; их границы — окружности.
2. Укажи поверхность, которая соединяет окружности оснований. Это боковая поверхность, она обходит цилиндр сбоку.
3. Найди центры оснований и проведи через них прямую. Эта прямая является осью цилиндра.

Ответ: основания — два круга на концах, боковая поверхность — соединяющая их искривлённая часть, ось — прямая через центры оснований.

Задача 2

Высота цилиндра равна 5 см. Нужно найти длину отрезка боковой поверхности, параллельного оси и соединяющего окружности оснований. Не требуется измерять его по рисунку: в условии уже указано, как отрезок расположен и какие точки он соединяет. Для такого отрезка известно равенство с высотой цилиндра.

1. Обозначим длину отрезка через l, а высоту цилиндра через h.
2. Поскольку отрезок соединяет окружности оснований и параллелен оси, он является образующей прямого кругового цилиндра. Значит, l = h.
3. Подставим данное значение: l = 5 см.

Ответ: 5 см. Проверка проста: каждый такой отрезок идёт между теми же параллельными плоскостями оснований, что и высота, поэтому его длина совпадает с расстоянием между ними.

Задача 3

Осевой разрез цилиндра — прямоугольник со сторонами 6 см и 10 см. Требуется определить высоту и диаметр основания. Осевое сечение связывает эти величины со сторонами прямоугольника: одна сторона равна высоте, другая — диаметру. По одним только двум числам нельзя заранее решить, какая из сторон соответствует высоте, поэтому ответ следует указать с учётом возможных вариантов.

1. Запиши соответствие: стороны осевого прямоугольника — это высота h и диаметр d основания.
2. Если сторона 6 см является высотой, то h = 6 см и d = 10 см.
3. Если сторона 10 см является высотой, то h = 10 см и d = 6 см. Без дополнительного условия оба расположения допустимы.

Ответ: возможны пары (h = 6 см, d = 10 см) или (h = 10 см, d = 6 см). Если в задаче подразумевается, что высота меньше диаметра, выбирают первый вариант; если больше — второй.

Типичные ошибки

• Называть основанием только окружность. Так говорят, потому что на рисунке граница круга обычно заметнее его внутренней части. Но основание — весь круг, а окружность лишь его граница; проверь себя, спросив, есть ли у основания внутренняя область.
• Путать высоту с образующей. Их длины в прямом круговом цилиндре равны, поэтому кажется, что это одно и то же. Однако высота — расстояние между плоскостями оснований, а образующая — отрезок боковой поверхности; проверь определение, а не только численное значение.
• Считать боковую поверхность плоской. На рисунке её изображают гладкой линией, а развёртка выглядит как прямоугольник. Но поверхность цилиндра искривлена; прямоугольник появляется лишь после разрезания и разворачивания.
• Путать осевое сечение с любым сечением. Любой разрез может выглядеть как плоская фигура, поэтому легко забыть условие о положении плоскости. Осевым является только сечение плоскостью через ось; проверь, проходит ли плоскость через центры обоих оснований.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра понадобятся понятия круга и окружности: важно различать область и её границу. Также нужно понимать, что значит параллельность плоскостей и как находят расстояние между ними, ведь именно так определяется высота цилиндра. Позже цилиндрические тела и их сечения пригодятся при изучении объёмных фигур, площади поверхности и объёма. Связь между высотой, диаметром и осевым сечением помогает переводить задачу о пространственном теле в задачу о прямоугольнике.

Что запомнить

• У цилиндра два равных основания-круга.
• Плоскости оснований параллельны.
• Ось проходит через центры оснований.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник.
• Развёртка боковой поверхности цилиндра имеет форму прямоугольника.