"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Тела вращения получают, когда плоскую фигуру вращают вокруг прямой — оси вращения. Так образуются знакомые цилиндр, конус и сфера. Нужно понимать, какие части исходной фигуры становятся высотой, радиусом, основаниями или боковой поверхностью. Эти представления помогают изучать площади поверхностей и объёмы геометрических тел, а также объяснять форму многих предметов вокруг нас.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело вращения — объёмная фигура, полученная при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Эта прямая называется осью вращения и задаёт направление движения точек. Понятие помогает понять, откуда берутся объёмные тела из обычных прямоугольников и треугольников.
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У него есть два равных круга-основания и боковая поверхность, соединяющая их. Такое описание нужно, чтобы различать высоту цилиндра, его основания и радиус.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет, совпадающий с осью, задаёт высоту, другой катет связан с радиусом основания, а гипотенуза образует боковую поверхность. Поэтому по исходному треугольнику можно определить основные элементы конуса.
Сфера — поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. Все точки сферы удалены от центра на одно и то же расстояние, называемое радиусом. Сфера не является заполненным телом: тело, ограниченное сферой, называется шаром.
При вращении плоской фигуры вокруг прямой каждая её точка движется по окружности с центром на оси или остаётся неподвижной, если лежит на оси. Точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от оси, описывают окружности одинакового радиуса. Совокупность таких движений создаёт поверхность, а вращение всей фигуры вместе с внутренними точками даёт тело.
У цилиндра выбранная сторона прямоугольника служит осью вращения. Противоположная сторона движется параллельно оси и при каждом положении задаёт круговую границу боковой поверхности. Две остальные стороны вращаются в плоскостях, перпендикулярных оси, поэтому образуют два равных основания, а расстояние между ними становится высотой.
У конуса один катет прямоугольного треугольника совпадает с осью вращения. Его точки не удаляются от оси, поэтому он остаётся отрезком, задающим высоту. Другой катет вращается и заметает круг, потому что его конец удалён от оси на постоянное расстояние; так появляется основание, а гипотенуза образует боковую поверхность.
При вращении полуокружности вокруг диаметра каждая её точка описывает окружность с центром на середине диаметра. Расстояние от этой точки до центра не меняется и равно радиусу полуокружности. Поэтому все полученные точки находятся на одинаковом расстоянии от центра и составляют сферу.
Одна и та же плоская фигура может дать разные тела при выборе разных осей. Например, у прямоугольника вращение вокруг длинной стороны делает высоту цилиндра длинной, а радиус равным короткой стороне. Если выбрать короткую сторону, эти роли поменяются, поэтому размеры и пропорции цилиндра будут другими.
| Свойство | Цилиндр | Конус | Сфера |
|---|---|---|---|
| Плоская фигура, которую вращают | Прямоугольник | Прямоугольный треугольник | Полуокружность |
| Ось вращения | Одна из сторон прямоугольника | Один из катетов | Диаметр полуокружности |
| Основные части или элементы | Два основания, боковая поверхность, высота | Основание, вершина, боковая поверхность, высота | Центр и радиус поверхности |
| Какую роль играет радиус | Расстояние от оси до окружности основания | Расстояние от оси до окружности основания | Общее расстояние от центра до точек сферы |
Таблицу удобно использовать как короткую схему: сначала найдите исходную фигуру и ось, затем определите элементы полученного тела. Для цилиндра и конуса радиус связан с расстоянием до оси, а для сферы — с расстоянием от центра до её поверхности. Если поменять ось, нужно заново определить высоту и радиус.
Задача 1. Какое тело получится, если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон? Нужно связать исходную фигуру и выбранную ось с определением тела вращения. При вращении получается объёмная фигура с двумя круглыми основаниями.
Ответ: получится цилиндр. Выбранная сторона будет его осью и задаст высоту, а расстояние до противоположной стороны станет радиусом основания.
Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращают вокруг катета длиной 4 см. Назовём тело и найдём его высоту и радиус основания. Решение основано не на вычислении, а на определении роли каждого катета.
Ответ: получится конус; его высота равна 4 см, а радиус основания — 3 см. Гипотенуза при этом образует боковую поверхность.
Задача 3. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают сначала вокруг стороны 5 см, а затем вокруг стороны 3 см. Сравним цилиндры, внимательно отслеживая, какая сторона совпадает с осью. Одна сторона становится высотой, а перпендикулярная ей сторона — радиусом.
Ответ: первый цилиндр имеет h = 5 см и r = 3 см, второй — h = 3 см и r = 5 см. Выбор оси меняет местами роли сторон прямоугольника.
Ошибка — называть сферой всё тело внутри поверхности. Так происходит из-за того, что в обычной речи слово «шар» часто заменяют словом «сфера». Проверьте себя: если речь идёт только о границе, это сфера, а если включено внутреннее пространство, это шар.
Ошибка — путать ось вращения с образующей фигурой. Ось задаёт неподвижную прямую и направление вращения, а плоская фигура движется вокруг неё. Для проверки найдите линию, точки которой не удаляются от оси: именно она является осью.
Ошибка — считать радиусом цилиндра или конуса сторону, совпадающую с осью. Такая сторона задаёт высоту, а радиусом становится перпендикулярное расстояние от оси до края основания. Проверьте направление: радиус основания должен быть перпендикулярен оси.
Ошибка — думать, что вращение вокруг любой стороны даёт одинаковое тело. Размеры зависят от того, какая сторона стала осью, поэтому высота и радиус могут поменяться местами. Запишите выбранную ось до решения и определите роль каждой стороны относительно неё.
До изучения тел вращения нужно знать окружность, круг, радиус и диаметр, а также свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника. Эти знания помогают распознавать основания цилиндра и конуса и понимать, почему точки сферы равноудалены от центра. Без них трудно определить радиус по положению фигуры относительно оси.
Дальше тела вращения понадобятся при изучении площадей их поверхностей и объёмов. Они встречаются и в моделировании предметов: стакан похож на цилиндр, воронка — на конус, мяч — на шар. Поэтому умение видеть исходную фигуру и ось полезно не только в геометрических задачах.
Чем тело вращения отличается от поверхности вращения?
Поверхность вращения состоит из точек, которые движутся при вращении и образуют внешнюю оболочку. Тело вращения включает все внутренние точки, ограниченные этой поверхностью.
Почему при вращении прямоугольника получается цилиндр?
Одна сторона прямоугольника становится осью, а противоположная ей сторона движется по окружности. Две другие стороны при вращении образуют два круга, поэтому получается цилиндр с основаниями и боковой поверхностью.
Как определить радиус основания конуса по образующему его треугольнику?
Если треугольник вращают вокруг катета, то этот катет становится осью и высотой конуса. Второй катет, перпендикулярный оси, задаёт радиус основания.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — это только поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Шар — объёмное тело, ограниченное сферой, вместе со всеми точками внутри неё.
Изменится ли тело, если вращать фигуру вокруг другой стороны?
Да, обычно изменятся высота и радиус полученного тела. Например, вращение прямоугольника вокруг длинной или короткой стороны даёт цилиндры с разными размерами.
§ 2. Тела и поверхности вращения
