"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Конус — геометрическое тело с круглым основанием и вершиной, которая находится вне плоскости основания. Его боковую поверхность образуют отрезки от вершины к точкам окружности. Чтобы описать конус, нужно различать основание, ось, высоту и образующую: они связаны между собой, но обозначают разные элементы. Эти понятия помогают распознавать конус на чертежах и решать задачи, в том числе с помощью осевого сечения и теоремы Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, которое получается, если соединить все точки круга с точкой, не лежащей в плоскости этого круга. В отличие от многогранников, его поверхность не состоит только из плоских многоугольников: у конуса есть круглая часть и гладкая боковая поверхность. Это определение помогает представить, как устроено тело, даже если на чертеже показана лишь его часть.
Основание конуса — круг, который задаёт его нижнюю часть; обычно круг обозначают буквой O, а его радиус — r. Окружность является границей круга, но не самим основанием. Различать их нужно, чтобы правильно называть фигуры и понимать, откуда измеряют радиус и диаметр.
Вершина конуса — точка вне плоскости основания, к которой ведут отрезки от точек окружности. На чертеже её часто обозначают буквой S. Вершина важна для определения боковой поверхности и для построения отрезков, составляющих ось, высоту и образующие.
Высота конуса — перпендикуляр, проведённый из вершины к плоскости основания; образующая — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности. В прямом круговом конусе высота лежит на оси, а образующая наклонена к плоскости основания. Эти обозначения помогают не спутать разные отрезки при решении задач.
Чтобы задать конус, берут круг и точку вне его плоскости. Затем каждую точку окружности соединяют отрезком с выбранной точкой: это и задаёт наклонные линии боковой поверхности. Если бы вершина находилась в плоскости круга, получившаяся фигура не была бы таким конусом, поэтому положение вершины вне плоскости существенно.
Круг служит основанием, потому что он ограничивает тело снизу и вместе с боковой частью образует его замкнутую поверхность. Отрезки от вершины к точкам окружности при вращении вокруг конуса заполняют боковую поверхность. Поэтому основание — именно весь круг, а окружность лишь отделяет его от боковой части.
Прямым круговым называют конус, у которого ось проходит через центр круга-основания и перпендикулярна его плоскости. Ось соединяет вершину с этим центром, поэтому она показывает направление «прямого» конуса и делит его на две симметричные части. Если вершина смещена в сторону, ось уже не будет перпендикулярна основанию, и конус не будет прямым.
Высота отличается от образующей тем, куда именно она приходит и под каким углом проходит. Высота опускается из вершины перпендикулярно к плоскости основания, а образующая заканчивается на окружности и обычно идёт наклонно. В прямом круговом конусе они вместе с радиусом основания образуют прямоугольный треугольник, что позволяет применять теорему Пифагора.
Осевое сечение получают, когда конус пересекают плоскостью, проходящей через вершину и ось. В прямом круговом конусе плоскость пересекает основание по диаметру, а боковую поверхность — по двум равным образующим. Поэтому сечение является равнобедренным треугольником: его равные боковые стороны — образующие, а основание — диаметр круга.
| Элемент | Что это | Как распознать или обозначить |
|---|---|---|
| Основание | Круг, ограничивающий конус снизу | Круг с центром O и радиусом r |
| Вершина | Точка вне плоскости основания | Часто обозначается S |
| Ось | Отрезок от вершины к центру основания | В прямом круговом конусе перпендикулярна основанию |
| Высота | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | Обозначается h; в прямом конусе совпадает с осью |
| Образующая | Отрезок от вершины до точки окружности | Обозначается l; наклонена к основанию |
| Боковая поверхность | Поверхность между вершиной и окружностью основания | Составлена из отрезков-образующих |
Сначала найди на рисунке основание и его центр, а затем определи положение вершины. В прямом круговом конусе отрезок от вершины к центру является и осью, и высотой; отрезок к окружности — образующей. Сверяйся с признаками в таблице, особенно когда нужно отличить высоту от наклонной образующей.
Условие. На рисунке изображён конус с вершиной S и центром основания O. Назовите его основание, ось и высоту. Решение. Сначала используем определения: основание — круг, а ось соединяет вершину с центром этого круга. Высота должна быть перпендикулярна плоскости основания.
Ответ: основание — круг с центром O; ось — SO; высота прямого кругового конуса — SO. Проверка проста: конец оси должен попасть в центр основания, а высота должна образовывать прямой угол с его плоскостью.
Условие. В прямом круговом конусе радиус основания равен 5 см, высота — 12 см. Найдите длину образующей. Решение. Обозначим образующую через l. В осевом сечении радиус и высота перпендикулярны, поэтому вместе с образующей они образуют прямоугольный треугольник.
Ответ: 13 см. Для этой задачи важно, что конус прямой: именно поэтому высота и радиус основания перпендикулярны и теорема Пифагора применима к полученному треугольнику.
Условие. Осевое сечение прямого кругового конуса — равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 см и основанием 10 см. Найдите высоту конуса. Решение. Боковые стороны сечения являются образующими, а основание — диаметром основания конуса. Проведённая из вершины высота треугольника делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Ответ: 12 см. Результат можно проверить обратным вычислением: 5² + 12² = 13², значит, стороны прямоугольного треугольника согласуются с условием.
Образующую называют высотой. Ошибка возникает потому, что оба отрезка выходят из вершины и кажутся похожими на чертеже. Но образующая наклонена к плоскости основания, а высота перпендикулярна ей. Проверь себя: если отрезок приходит к окружности, это образующая, а если образует прямой угол с плоскостью основания — высота.
Осью считают любой отрезок от вершины к основанию. Так ошибаются, когда не учитывают положение центра круга. Ось обязательно соединяет вершину с центром основания, а не с произвольной точкой круга. Чтобы проверить выбор, найди центр O: отрезок оси должен иметь конец именно в O.
Окружность принимают за основание конуса. Их легко спутать, потому что на плоском чертеже видна главным образом линия границы. Однако окружность ограничивает круг, а основанием является весь круг. Перед ответом спроси себя, называешь ли ты плоскую область или только её контур.
В осевом сечении весь диаметр принимают за радиус. Это происходит, когда основание треугольника сразу подставляют в прямоугольный треугольник. Высота делит равнобедренное осевое сечение пополам, поэтому радиус равен половине диаметра. Проверь построение: катетом рядом с высотой должен быть радиус, а не полный диаметр.
Для понимания конуса нужны понятия круга, окружности, радиуса, диаметра и перпендикуляра к плоскости. В задачах на осевое сечение используются свойства равнобедренного треугольника: его высота к основанию делит основание пополам. Чтобы вычислять образующую или высоту, применяют теорему Пифагора. Позже представление о конусе поможет изучать объёмы и площади поверхностей геометрических тел.
Чем конус отличается от цилиндра?
У конуса одно круглое основание и одна вершина вне его плоскости. У цилиндра два равных круглых основания, а вершины, как у конуса, нет.
Почему высота конуса не совпадает с образующей?
Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямом круговом конусе образующая наклонена к основанию, поэтому обычно длиннее высоты.
Где проходит ось прямого кругового конуса?
Ось соединяет вершину конуса с центром его основания. У прямого кругового конуса она перпендикулярна плоскости основания.
Как выглядит осевое сечение конуса?
Если плоскость проходит через вершину и ось прямого кругового конуса, сечение имеет форму равнобедренного треугольника. Его основание — диаметр круга, а боковые стороны — образующие конуса.
Как найти образующую, если известны радиус основания и высота?
В прямом круговом конусе радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора длина образующей равна √(r² + h²), где r — радиус основания, а h — высота.
126. Конус
