"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Конус — геометрическое тело с круглым основанием и вершиной вне его плоскости. Отрезки от вершины к точкам окружности образуют его боковую поверхность. Чтобы описывать конус и решать задачи, нужно различать высоту и образующую, понимать устройство осевого сечения и знать, как связаны радиус, высота и образующая прямого кругового конуса. Эти знания пригодятся при изучении поверхностей и объёмов тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом и поверхностью, образованной отрезками, соединяющими точки этого круга с одной общей точкой вне его плоскости. Общая точка называется вершиной, а круг — основанием. Такое определение показывает, какие части образуют тело и почему у конуса есть круглая нижняя граница и сходящаяся к вершине поверхность.
Основание конуса — круг, ограниченный плоскостью; вершина конуса — общая точка, соединённая с точками основания. Кругом называют часть плоскости внутри окружности, а окружность служит его границей. Различие пригодится в задачах: основание является плоской областью, а точки окружности задают концы образующих.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину и центр основания; высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Ось помогает определить направление конуса, а высота показывает расстояние от вершины до основания. Для произвольного конуса ось и высота не обязаны совпадать.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. Каждая такая точка задаёт свою образующую, а вместе они образуют боковую поверхность. Образующая наклонена к плоскости основания, поэтому её не следует путать с высотой, которая перпендикулярна этой плоскости.
Представим прямоугольный треугольник и будем вращать его вокруг одного из катетов. Этот катет остаётся на месте и задаёт ось вращения, поэтому его длина становится высотой полученного конуса. Второй катет при вращении описывает круг: его длина становится радиусом основания. Гипотенуза соединяет вершину с краем этого круга, поэтому соответствует образующей.
При вращении гипотенуза не просто перемещается целиком: каждая её точка проходит окружность вокруг оси, и совокупность этих окружностей образует боковую поверхность. Нижний конец гипотенузы находится на оси вращения, а другой конец удалён от неё на длину второго катета. Поэтому второй конец описывает окружность основания, а сама гипотенуза соединяет вершину с точкой этой окружности.
Прямым круговым называют конус, у которого основание является кругом, а ось перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр. Перпендикуляр из вершины к плоскости основания попадает в центр круга, так что высота лежит на оси. В результате все образующие такого конуса имеют одинаковую длину: вершина находится над центром, а точки окружности равноудалены от него.
Осевое сечение получают, проводя плоскость через ось конуса. В прямом круговом конусе такая плоскость пересекает основание по диаметру, а боковую поверхность — по двум образующим. Эти образующие равны, поэтому сечение представляет собой равнобедренный треугольник; его основание равно диаметру, то есть 2r. Это позволяет использовать свойства треугольника, чтобы находить элементы конуса.
В прямом круговом конусе высота соединяет вершину с центром основания, а радиус идёт от центра к точке окружности. Они перпендикулярны, поскольку высота перпендикулярна всей плоскости основания. Вместе с образующей эти отрезки составляют прямоугольный треугольник, где образующая — гипотенуза. Поэтому по теореме Пифагора l² = h² + r², где l — образующая, h — высота, r — радиус основания.
| Элемент | Что обозначает | Как расположен или определяется |
|---|---|---|
| Основание | Круг конуса | Лежит в плоскости основания |
| Вершина | Общая точка боковой поверхности | Находится вне плоскости основания |
| Ось | Прямая через вершину и центр основания | У прямого кругового конуса перпендикулярна плоскости основания |
| Высота | Расстояние от вершины до плоскости основания | Перпендикулярна плоскости основания |
| Образующая | Отрезок от вершины до точки окружности | Образует боковую поверхность |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью через ось | Равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l |
Сначала определите, какой элемент требуется найти, а затем найдите его положение в таблице. Для прямого кругового конуса удобно использовать одновременно сведения о высоте и образующей. В осевом сечении помните, что основание треугольника — диаметр, а не радиус.
Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращают вокруг катета длиной 3 см. Определим радиус основания, высоту и образующую полученного конуса. Ось вращения становится высотой, а второй катет задаёт радиус. Для нахождения образующей нужно узнать длину гипотенузы.
Ответ: радиус основания — 4 см, высота — 3 см, образующая — 5 см. Проверка показывает, что образующая длиннее каждого катета, как и должна гипотенуза. Если бы ось вращения была другой, высота и радиус поменялись бы местами.
Радиус основания прямого кругового конуса равен 5 см, а высота — 12 см. Найдём образующую и периметр осевого сечения. Радиус и высота перпендикулярны, поэтому сначала применим теорему Пифагора. В осевом сечении основание равно диаметру, а две боковые стороны являются образующими.
Ответ: образующая — 13 см, периметр осевого сечения — 36 см. Здесь важно не подставить в периметр радиус вместо диаметра. Две равные боковые стороны равны найденной образующей.
Образующая прямого кругового конуса равна 13 см, а диаметр основания — 10 см. Найдём высоту и площадь осевого сечения. В половине осевого сечения основание равно радиусу, то есть 5 см, а образующая — гипотенуза. Сначала восстановим высоту по теореме Пифагора, затем вычислим площадь всего треугольника.
Ответ: высота — 12 см, площадь осевого сечения — 60 см². В последнем шаге используется полный диаметр 10 см, потому что основание всего треугольника осевого сечения равно диаметру. Полученное значение высоты положительно и меньше образующей, что согласуется с прямоугольным треугольником.
Образующую иногда называют высотой, потому что оба отрезка начинаются в вершине. Но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая заканчивается на окружности и обычно наклонена к плоскости. Проверьте себя по концам отрезка: если нижний конец лежит на окружности, это образующая, а если на плоскости основания с условием перпендикулярности — высота.
Можно ошибочно считать, что высота любого конуса проходит через центр основания. Это справедливо для прямого кругового конуса, у которого ось проходит через центр и перпендикулярна основанию. У произвольного конуса перпендикуляр из вершины может падать в другую точку основания. Перед использованием свойства уточните, какой именно конус дан в условии.
В осевом сечении иногда принимают радиус за основание треугольника. Плоскость сечения проходит через ось и пересекает круг по диаметру, поэтому основание треугольника равно 2r. Ошибка возникает, если мысленно рассматривать только половину сечения. Проверка простая: для целого осевого сечения возьмите ширину всего круга, а не расстояние от центра до края.
Теорему Пифагора нельзя автоматически применять к радиусу, высоте и образующей произвольного конуса. Для прямого кругового конуса высота и радиус перпендикулярны, поэтому образуется прямоугольный треугольник. У другого конуса это расположение может отсутствовать. Сначала проверьте, что конус прямой круговой и что рассматриваемые отрезки действительно образуют прямой угол.
Для изучения конуса нужны знания о перпендикуляре к плоскости, окружности и круге: они помогают правильно определять высоту, основание и радиус. Теорема Пифагора связывает радиус, высоту и образующую прямого кругового конуса. Позже эти элементы понадобятся при вычислении площади боковой и полной поверхности, объёма тел вращения и решении задач на осевые сечения. Поэтому полезно научиться переводить пространственную задачу в понятный чертёж с треугольником.
Чем высота конуса отличается от образующей?
Высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания и обычно наклонена к этой плоскости. В прямом круговом конусе они являются катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника вместе с радиусом.
Как получить конус вращением прямоугольного треугольника?
Треугольник вращают вокруг одного из катетов. Этот катет становится осью и высотой конуса, второй катет описывает круг основания, а гипотенуза образует боковую поверхность.
Почему осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником?
Плоскость осевого сечения проходит через ось и пересекает боковую поверхность по двум образующим. В прямом круговом конусе эти образующие равны, поэтому полученный треугольник равнобедренный. Его основание — диаметр круга.
Когда можно применить теорему Пифагора к радиусу, высоте и образующей?
Так можно поступить для прямого кругового конуса. Его высота проходит через центр основания и перпендикулярна радиусу, поэтому вместе с образующей они образуют прямоугольный треугольник. Тогда l² = h² + r².
Чем прямой круговой конус отличается от произвольного конуса?
У прямого кругового конуса основание — круг, а ось перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр. У произвольного конуса вершина может располагаться не над центром, а основание не обязательно является кругом. Поэтому свойства прямого кругового конуса нельзя автоматически переносить на любой конус.
55. Конус
