56. Сечения конуса плоскостями

Определения и обозначения

Сечение конуса — плоская фигура, полученная при пересечении конуса плоскостью. При этом рассматривают пересечение плоскости и всего конуса, включая основание и боковую поверхность. Понятие нужно, чтобы описывать форму и размеры части тела, которую «видит» секущая плоскость.

Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. Ось соединяет вершину с центром основания; в таком сечении боковые стороны треугольника являются образующими конуса. Они равны, поэтому осевое сечение — равнобедренный треугольник, удобный для изучения размеров конуса.

Если плоскость параллельна основанию, её пересечение с конусом называют круговым сечением. Само сечение — круг, то есть плоская область, а его граница — окружность. Это различие помогает не путать фигуру пересечения с линией, по которой плоскость встречается с поверхностью конуса.

Усечённый конус — часть конуса между основанием и сечением, параллельным ему. Эти два круга называют основаниями усечённого конуса, а часть боковой поверхности исходного конуса между окружностями — его боковой поверхностью. Такая фигура возникает, когда параллельная основанию плоскость отсекает вершину.

Как это устроено

Форма сечения зависит от того, какие точки и линии конуса попадают в секущую плоскость. Плоскость, параллельная основанию, пересекает боковую поверхность по замкнутой кривой, а внутри конуса эта кривая ограничивает круг. Плоскость через вершину встречает боковую поверхность по двум образующим, поэтому вместе с отрезком основания они ограничивают треугольник. Наклонная плоскость, не проходящая через вершину, может пересекать боковую поверхность и основание иначе, поэтому её сечение не следует автоматически считать кругом или треугольником.

Когда плоскость проходит через вершину конуса, две образующие выходят из этой вершины и ограничивают боковую часть сечения. Плоскость также пересекает основание по хорде — отрезку, соединяющему две точки окружности основания. Эта хорда становится основанием треугольника, а вершина треугольника совпадает с вершиной конуса. Если плоскость не проходит через ось, треугольник обычно не является равнобедренным.

Параллельные сечения подобны основанию, поскольку их размеры уменьшаются одинаково от вершины. Это видно в осевом сечении: большой треугольник конуса и меньший треугольник над секущей плоскостью имеют общий угол при вершине, а соответствующие основания параллельны. Поэтому треугольники подобны, а круги, которым они соответствуют, имеют одинаковое отношение радиусов. Так можно переносить найденное отношение на весь конус.

Пусть R — радиус основания, H — высота конуса, r — радиус сечения, а h₁ — расстояние от вершины до секущей плоскости. Из подобия осевых треугольников следует пропорция r/R = h₁/H. Важно отсчитывать оба отрезка от вершины: радиусу основания соответствует полная высота H, а радиусу сечения — часть высоты h₁ до плоскости. Если задано расстояние от основания до плоскости, сначала найдите h₁ как разность высоты конуса и этого расстояния.

Когда параллельная основанию плоскость не проходит через вершину, выше неё остаётся меньший конус. Он подобен исходному, потому что у обоих конусов одинаковая форма, а соответствующие сечения параллельны. Оставшаяся часть между основанием и сечением — усечённый конус. Это разложение полезно, когда требуется определить размеры или объём каждой части.

Виды сечений конуса в зависимости от положения плоскости

Сначала определите, проходит ли плоскость через вершину или ось и параллельна ли она основанию. Затем сопоставьте это положение с таблицей и проверьте, какие части конуса пересекает плоскость. Если условия не описывают один из типичных случаев, не угадывайте форму по одному слову «наклонена» — разберите пересечение.

Разбор задач

Задача 1. Радиус основания конуса равен 6 см, высота — 12 см. Найдите радиус сечения плоскостью, параллельной основанию и удалённой от вершины на 5 см. Поскольку сечение параллельно основанию, его осевой треугольник подобен осевому треугольнику всего конуса. Значит, можно составить отношение радиусов по отношению соответствующих высот.

1. Обозначим радиус сечения через r; расстояние от вершины до плоскости равно 5 см, а высота конуса — 12 см.
2. Запишем пропорцию подобия: r/6 = 5/12, потому что радиус основания соответствует всей высоте, а радиус сечения — расстоянию до плоскости.
3. Вычислим: r = 6 · 5/12 = 2,5 см.

Ответ: радиус сечения равен 2,5 см. Полученное число меньше радиуса основания, что согласуется с расположением сечения внутри конуса. При такой проверке полезно сравнить радиусы и убедиться, что расстояние измерено именно от вершины.

Задача 2. Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает основание по хорде. Определите форму сечения и укажите, когда оно является осевым. Линиями пересечения плоскости с боковой поверхностью будут две образующие, выходящие из вершины. Хорда основания замыкает фигуру, поэтому сечение представляет собой треугольник.

1. Найдём три границы сечения: две образующие конуса и хорду, по которой плоскость пересекает основание.
2. Соберём их в плоскую фигуру: две образующие встречаются в вершине конуса, а хорда служит стороной напротив неё.
3. Проверим условие осевого сечения: его плоскость должна содержать ось, а хорда тогда проходит через центр основания и является диаметром.

Ответ: сечение — треугольник; оно осевое, если плоскость проходит через ось конуса. В этом случае две боковые стороны равны, так как являются образующими прямого конуса. Одна лишь треугольная форма не доказывает, что сечение осевое.

Задача 3. Параллельная основанию плоскость отсекает конус, высота которого в три раза меньше высоты исходного. Найдите отношение объёмов отсечённого конуса и исходного. Отсечённый конус подобен исходному, поэтому отношение высот задаёт коэффициент подобия. Для объёмов подобных тел нужно возвести этот коэффициент в куб.

1. Обозначим высоту исходного конуса через H; высота меньшего конуса равна H/3.
2. Коэффициент подобия меньшего конуса и исходного равен (H/3)/H = 1/3.
3. Отношение объёмов равно кубу коэффициента: Vₘ/V = (1/3)³ = 1/27.

Ответ: объём отсечённого конуса относится к объёму исходного как 1 : 27. Здесь сравниваются именно два конуса, а не усечённая часть и весь конус. Для объёма усечённой части понадобилось бы вычесть объём меньшего конуса из объёма исходного.

Типичные ошибки

Считать любое сечение конуса кругом неверно: круг получается при плоскости, параллельной основанию, а плоскость через вершину даёт треугольник. Ошибка возникает, если представлять конус только как тело вращения и не следить за положением плоскости. Проверьте, параллельна ли плоскость основанию и проходит ли она через вершину.

Не всякое треугольное сечение является осевым. Треугольник возникает, когда плоскость проходит через вершину, но осевым он становится только при прохождении плоскости через ось конуса. Это различие легко упустить, потому что обе фигуры имеют одинаковое число сторон. Проверка проста: основание осевого треугольника должно быть диаметром, а не произвольной хордой.

В пропорции для радиуса параллельного сечения нельзя без проверки подставлять расстояние от основания до плоскости. Такое расстояние отсчитывается с другого конца конуса, поэтому оно не соответствует высоте малого осевого треугольника. Ошибку допускают, ориентируясь на рисунок или словесную формулировку, а не на соответствующие стороны. Перед вычислением отметьте, что r/R = h₁/H, где h₁ и H отсчитываются от вершины.

Сечение — это плоская фигура пересечения, а не только её граница и не часть объёмного тела. Окружность является границей кругового сечения, а усечённый конус — телом, которое остаётся после отсечения части конуса. Термины путают, потому что в речи часто называют границу вместо всей фигуры. Проверяйте, спрашивают ли о плоской области, линии пересечения или объёмной части конуса.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об элементах конуса: вершине, оси, высоте, основании и радиусе. Особенно полезны свойства подобных треугольников: с их помощью находят радиус кругового сечения и размеры отсечённого конуса. Эти приёмы затем применяются при вычислении площадей и объёмов частей конуса и усечённого конуса. Рассмотрение пересечений также продолжает тему построения сечений многогранников и изучения тел вращения.

Что запомнить

• Сечение конуса — плоская фигура пересечения конуса с плоскостью.
• Плоскость, параллельная основанию, даёт круговое сечение.
• Сечение плоскостью через вершину — треугольник.
• Осевое сечение проходит через ось и является равнобедренным треугольником.
• Параллельное основанию сечение подобно основанию конуса.
• Для подобных конусов линейные размеры относятся как коэффициент подобия, а объёмы — как его куб.