57. Вписанная и описанная пирамиды

Определения и обозначения

Пирамида вписана в сферу, если все её вершины лежат на этой сфере. Сфера в таком случае проходит и через вершины основания, и через вершину пирамиды. Это определение позволяет говорить об описанной сфере пирамиды и искать её центр по равным расстояниям до вершин.

Пирамида описана около сферы, если плоскости всех её граней касаются этой сферы. Касание означает, что расстояние от центра сферы до плоскости каждой грани равно радиусу. Такое условие помогает определять радиус сферы и связывать его с объёмом пирамиды.

Описанная сфера пирамиды — сфера, проходящая через все вершины пирамиды. Её центр равноудалён от каждой вершины, а радиус равен расстоянию от центра до любой из них. Понятие нужно, чтобы проверять, существует ли сфера для данной пирамиды, и вычислять её радиус.

Вписанная сфера пирамиды — сфера, касающаяся плоскостей всех её граней. Её центр находится на одинаковом расстоянии от этих плоскостей, а радиус равен этому расстоянию. Для выпуклой пирамиды такая сфера располагается внутри неё, если точка касания приходится на каждую грань.

Как это устроено

Если сфера проходит через вершины основания, то её центр равноудалён от всех этих вершин. Пересечение сферы с плоскостью основания — окружность, а её центр является проекцией центра сферы на эту плоскость. Значит, центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через центр окружности, описанной около основания.

Пусть вершина пирамиды находится вне плоскости основания. Чтобы сфера проходила также через неё, нужно выбрать на указанном перпендикуляре точку, равноудалённую от вершины пирамиды и вершин основания. Равенство расстояний определяет положение центра и радиус сферы. Если вершина расположена прямо над центром описанной окружности, центр сферы тоже лежит на этой вертикали, но не обязательно внутри пирамиды.

Из рассуждения следует необходимое условие существования описанной сферы: вершины основания должны лежать на одной окружности. Иначе сфера не может пересечь плоскость основания по окружности, проходящей через все эти вершины. Поэтому центр сферы находится на перпендикуляре к основанию через центр описанной окружности, а не на произвольной прямой.

Центр сферы, вписанной в пирамиду, должен быть равноудалён от плоскостей всех граней. Для каждой пары соседних граней равное расстояние задаёт биссекторный угол — область точек, равноудалённых от двух плоскостей. Центр ищут на пересечении таких областей и проверяют, что он находится внутри пирамиды; радиусом будет расстояние от центра до любой грани.

У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а вершина расположена над его центром. Симметрия основания делает ось пирамиды общей линией, на которой лежат центры обеих сфер: центр описанной сферы равноудалён от вершин, а центр вписанной — от граней. Для вписанной сферы можно разбить пирамиду на пирамиды с вершиной в её центре и основаниями на гранях. Их высота равна радиусу r, поэтому V = rS/3, где S — полная площадь поверхности.

Сферы, связанные с пирамидой

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выясните, что задано: вершины на сфере или касание граней. Затем выберите соответствующее условие для центра и радиуса. Формулу r = 3V/S применяйте только к сфере, касающейся всех граней.

Разбор задач

Сфера около пирамиды с квадратным основанием

Основание пирамиды — квадрат, а вершина находится над центром основания. Нужно обосновать существование сферы через все вершины и указать положение её центра. У квадрата есть описанная окружность, а значит, четыре вершины основания можно расположить на одной сфере. Остаётся подобрать её центр так, чтобы на сфере лежала и вершина пирамиды.

1. Обозначим центр квадрата буквой O, вершину пирамиды — P, а центр искомой сферы — C. Центр сферы должен быть равноудалён от четырёх вершин основания, поэтому его проекция на плоскость основания совпадает с O.
2. Следовательно, C лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через O. На этой прямой выбирают точку, равноудалённую от P и любой вершины квадрата; такое положение существует, поскольку P не лежит в плоскости основания.

Выбранная точка C равноудалена от всех четырёх вершин основания, так как они лежат на описанной окружности, и от вершины P. Значит, сфера с центром C проходит через все вершины пирамиды. Ответ: центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию через центр квадрата.

Радиус описанной сферы правильной четырёхугольной пирамиды

Сторона квадратного основания равна a, высота пирамиды — h; требуется найти радиус описанной сферы. Центр сферы лежит на оси пирамиды, но может находиться выше или ниже плоскости основания. Поэтому удобно отсчитывать его положение от центра основания, а не предполагать заранее, где он расположен.

1. Пусть O — центр квадрата, P — вершина пирамиды, C — центр сферы. Расстояние от O до вершины основания равно половине диагонали квадрата: OA = a√2/2, поэтому OA² = a²/2.
2. Обозначим расстояние от O до C через x, считая направление к вершине положительным. Тогда расстояния до вершины основания и до P равны: R² = x² + a²/2 и R² = (h − x)². Приравняем их: x² + a²/2 = (h − x)².
3. После раскрытия скобок получаем 2hx = h² − a²/2, то есть x = h/2 − a²/(4h). Подставим в R² = (h − x)²: радиус R = h − x = h/2 + a²/(4h).

Итак, R = (h² + a²/2)/(2h). Формула получается из равенства расстояний до вершины основания и до вершины пирамиды, а не из предположения, что центр обязательно внутри неё. Если найденное x отрицательно, центр сферы находится по другую сторону от плоскости основания.

Радиус вписанной сферы по объёму и площади

Для правильной пирамиды известны объём V и полная площадь поверхности S. Нужно определить радиус сферы, касающейся всех граней. Разделим пирамиду плоскостями, проведёнными от центра сферы к рёбрам и вершинам её граней. Получатся пирамиды, основания которых вместе составляют всю поверхность исходной пирамиды.

1. Высота каждой маленькой пирамиды равна расстоянию от центра сферы до плоскости соответствующей грани. Поскольку сфера касается всех граней, это расстояние везде одно и то же и равно r.
2. Объём каждой части равен одной трети произведения площади её основания на r. Складывая объёмы, получаем V = rS/3, потому что сумма площадей оснований равна полной площади поверхности S.
3. Выразим радиус из равенства: r = 3V/S. Подставьте объём и площадь в одинаковых единицах измерения; тогда результат будет выражен в единицах длины.

Ответ: r = 3V/S. Например, если объём измерен в кубических сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, радиус получится в сантиметрах. Формула применима, когда сфера действительно касается каждой грани.

Типичные ошибки

Ошибка: считать пирамиду вписанной в сферу, когда на ней лежат только вершины основания. Так рассуждают, потому что сначала находят окружность, описанную около основания, и забывают проверить вершину пирамиды. Проверка проста: расстояние от центра предполагаемой сферы до вершины должно совпасть с её радиусом.

Ошибка: помещать центр описанной сферы внутрь пирамиды по умолчанию. Центр задаётся равенством расстояний до вершин и может оказаться снаружи, особенно если высота пирамиды мала или велика относительно основания. Проверьте его положение вычислением, а не видом чертежа.

Ошибка: принимать касание ребра или вершины за касание грани. Такое касание не означает, что сфера касается плоскости каждой грани. Для проверки найдите расстояние от центра сферы до плоскости каждой грани: все расстояния должны быть равны радиусу.

Ошибка: полагать, что около любой пирамиды можно описать сферу. Причина — неверное распространение свойства окружности на любое основание. Проверьте, можно ли провести окружность через все вершины основания; если нельзя, то и сферы через все вершины пирамиды нет.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства сферы и окружности, перпендикуляра к плоскости и расстояния от точки до плоскости. Они объясняют, как расположить центр и определить радиус по вершинам или граням. При решении задач используются формулы объёма пирамиды и площади её полной поверхности. Тема связывает задачи о многогранниках с вычислением объёмов и радиусов сфер.

Что запомнить

• У пирамиды, вписанной в сферу, все вершины лежат на сфере.
• У пирамиды, описанной около сферы, плоскости всех граней касаются сферы.
• Основание пирамиды, вписанной в сферу, должно быть вписано в окружность.
• Центр сферы через вершины основания лежит на перпендикуляре к его плоскости через центр описанной окружности.
• У правильной пирамиды центры вписанной и описанной сфер лежат на её оси.
• Для сферы, вписанной в пирамиду, V = rS/3, где S — площадь полной поверхности.