"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Призму связывают с круговым цилиндром двумя способами: она может находиться внутри него или охватывать его, касаясь боковой поверхности и оснований. В первом случае вершины основания призмы лежат на окружности, во втором окружность цилиндра касается сторон основания. Поэтому радиус цилиндра находят соответственно по описанной или вписанной окружности многоугольника. Эти связи помогают решать задачи о призмах и цилиндрах, но сначала нужно проверить, существует ли нужная окружность для данного основания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанная в цилиндр призма — призма, боковые рёбра которой лежат на боковой поверхности цилиндра, а основания вписаны в основания цилиндра. Проще говоря, круговое основание цилиндра проходит через вершины многоугольника призмы. Это определение позволяет понять, почему при поиске размеров цилиндра нужно изучать окружность вокруг основания призмы.
Описанная около цилиндра призма — призма, боковые грани которой касаются цилиндра, а основания касаются его оснований. Цилиндр оказывается внутри призмы, а его круговые основания касаются многоугольников оснований призмы. Такое описание подсказывает, что для вычислений понадобится окружность внутри многоугольника.
Описанная окружность многоугольника проходит через все его вершины. Её центр и радиус задают положение и размер основания цилиндра, если в цилиндр вписана призма. Если окружность существует, все вершины основания находятся на одинаковом расстоянии от её центра.
Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника. Её радиус задаёт расстояние от оси цилиндра до боковых граней призмы, описанной около цилиндра. Не каждый многоугольник допускает такую окружность, поэтому возможность её построения нужно проверять отдельно.
Почему призма, вписанная в цилиндр, обязательно прямая? Боковая поверхность цилиндра состоит из параллельных образующих, а боковые рёбра такой призмы лежат на этих прямых. Образующие прямого кругового цилиндра перпендикулярны плоскостям его оснований. Значит, рёбра призмы тоже перпендикулярны основаниям, а это и есть признак прямой призмы.
Условие вписания можно свести к геометрии основания. У прямой призмы боковые рёбра идут параллельно оси цилиндра, поэтому достаточно расположить вершины нижнего основания на окружности одного основания цилиндра. Верхние вершины окажутся на соответствующих образующих и попадут на окружность второго основания. Следовательно, основание призмы должно быть вписано в окружность основания цилиндра.
Для призмы, описанной около цилиндра, боковая грань содержит сторону многоугольника основания. Если грань касается боковой поверхности цилиндра, её след в плоскости основания касается окружности цилиндра. Поэтому сторона многоугольника касается этой окружности, а все стороны вместе образуют многоугольник, описанный около неё. Именно так объясняется требование о вписанной окружности основания.
Радиус цилиндра, в который вписана прямая призма, равен радиусу окружности, проходящей через вершины основания призмы. Основания цилиндра и призмы лежат в параллельных плоскостях, а боковые рёбра совпадают с образующими. Поэтому радиусы окружностей цилиндра совпадают с радиусом описанной окружности многоугольника.
Если призма описана около цилиндра, то радиус цилиндра равен расстоянию от центра окружности до любой стороны многоугольника основания. Это и есть радиус вписанной окружности. Ось прямой призмы совпадает с осью цилиндра: их центры оснований лежат на одной перпендикулярной основаниям прямой. Такое совпадение помогает расположить фигуры относительно друг друга.
| Свойство | Призма вписана в цилиндр | Призма описана около цилиндра |
|---|---|---|
| Связь боковых рёбер и боковой поверхности цилиндра | Рёбра лежат на образующих | Боковые грани касаются поверхности |
| Форма призмы | Прямая | Прямая для прямого кругового цилиндра |
| Условие для многоугольника основания | Вписан в окружность | Описан около окружности |
| Радиус цилиндра через основание призмы | Радиус описанной окружности | Радиус вписанной окружности |
| Что совпадает у осей призмы и цилиндра | Оси совпадают | Оси совпадают |
Сначала определи, какая фигура находится внутри другой, а затем выбери соответствующий столбец. Для призмы внутри цилиндра ищи окружность через вершины основания; для призмы вокруг цилиндра — окружность, касающуюся его сторон. В последней строке предполагается прямая призма и прямой круговой цилиндр.
Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдём радиус цилиндра, описанного около призмы. Вершины прямоугольника должны лежать на окружности основания цилиндра, поэтому требуется радиус описанной окружности прямоугольника.
Ответ: 5.
Правильная треугольная призма описана около цилиндра, сторона её основания равна 6. Найдём радиус цилиндра. Основание цилиндра касается трёх сторон равностороннего треугольника, значит, его радиус равен радиусу вписанной в треугольник окружности.
Ответ: √3.
Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 и боковыми сторонами 5. Проверим, можно ли вписать цилиндр в призму. Для этого в трапецию должна вписываться окружность, касающаяся всех четырёх сторон; одной лишь возможности описать около трапеции окружность недостаточно.
Ответ: вписать цилиндр нельзя. Трапеция действительно является вписанным в окружность четырёхугольником, но это свойство относится к цилиндру, описанному около призмы, а не к цилиндру внутри неё.
Ошибка — считать, что любую призму можно вписать в круговой цилиндр. Это происходит, если не учитывать направление образующих: боковые рёбра должны лежать на них, а значит, быть перпендикулярными основаниям. Проверь, прямая ли призма; наклонная этому условию не удовлетворяет.
Часто путают окружность, описанную около основания, и окружность, вписанную в него. Первая проходит через вершины, вторая касается сторон, поэтому они отвечают за разные положения цилиндра. Самопроверка простая: отметь, что именно должно касаться чего — вершины или стороны.
При нахождении радиуса цилиндра для призмы, вписанной в цилиндр, иногда берут радиус вписанной окружности основания. Так происходит из-за смешения слов «вписанная призма» и «вписанная окружность». Проверь положение фигур: если вершины лежат на окружности, нужен радиус описанной окружности.
Нельзя считать, что нужная окружность существует для любого многоугольника. Например, не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность или описать около неё. Перед вычислениями проверь условие существования: для четырёхугольника с описанной окружностью противоположные углы в сумме дают 180°, а для вписанной окружности суммы противоположных сторон равны.
Для понимания темы нужны определения прямой призмы и кругового цилиндра, а также свойства параллельных прямых и плоскостей. Они объясняют, почему вписанная в цилиндр призма должна быть прямой и как располагаются её боковые рёбра. Без этого трудно установить соответствие между рёбрами и образующими цилиндра.
Также понадобятся свойства описанной и вписанной окружностей многоугольников. Особенно часто используются формулы для треугольника и признаки для четырёхугольника. Именно они позволяют проверить, подходит ли основание призмы, и вычислить радиус.
Эти соотношения пригодятся при нахождении элементов призмы и цилиндра, а также в задачах на площади поверхностей и объёмы. Сначала по основанию находят радиус, затем используют его в формулах нужного тела. Ошибка в выборе окружности приведёт к неверному результату во всех дальнейших вычислениях.
Может ли наклонная призма быть вписана в круговой цилиндр?
Нет, призма, вписанная в круговой цилиндр, должна быть прямой. Её боковые рёбра лежат на образующих цилиндра, а образующие перпендикулярны основаниям.
Как понять, какую окружность искать — вписанную в основание или описанную около него?
Если призма находится внутри цилиндра, окружность проходит через вершины основания призмы: это описанная окружность. Если призма охватывает цилиндр, окружность касается сторон основания: это вписанная окружность.
Можно ли около любой призмы описать цилиндр?
Нет. Призма должна быть прямой, а около её многоугольника основания должна существовать описанная окружность. Например, около любого треугольника окружность описать можно, но не около любого четырёхугольника.
Как найти радиус цилиндра, если основание призмы — прямоугольник?
Для цилиндра, описанного около прямой призмы, радиус равен половине диагонали прямоугольника. Если стороны прямоугольника a и b, то R = √(a² + b²) / 2.
Как проверить, можно ли вписать окружность в четырёхугольник?
Для выпуклого четырёхугольника необходимое и достаточное условие — суммы длин противоположных сторон равны. После проверки можно находить радиус вписанной окружности, например по площади и полупериметру.
54. Вписанная и описанная призмы
