"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Сечение цилиндра — фигура, которую плоскость вырезает из тела. Его форма зависит от того, как плоскость расположена относительно основания и оси: параллельное основанию сечение является кругом, а осевое — прямоугольником. Эти свойства помогают находить площади сечений и решать задачи о цилиндрах. Для наклонной плоскости форму нужно определять отдельно, а не угадывать по виду цилиндра.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение цилиндра плоскостью — фигура, состоящая из всех общих точек цилиндра и секущей плоскости. Иначе говоря, это часть цилиндра, оказавшаяся внутри плоскости. Границу фигуры образуют линии, по которым плоскость пересекает поверхность цилиндра; определение помогает отличить само сечение от его контура.
Осевое сечение цилиндра — сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. У прямого кругового цилиндра оно является прямоугольником. Его стороны равны высоте цилиндра h и диаметру основания 2r, поэтому это определение сразу подсказывает, какие размеры использовать в задачах.
Сечение, параллельное основанию, получается, когда секущая плоскость параллельна плоскости основания. Для прямого кругового цилиндра это круг, равный основанию. Такое название удобно связывает форму сечения с положением плоскости и показывает, что его размеры известны через радиус основания.
Радиус сечения, параллельного основанию — расстояние от центра полученного круга до его окружности. Он совпадает с радиусом основания цилиндра r, потому что поперечный размер прямого цилиндра не меняется по высоте. Это позволяет находить площадь сечения по формуле πr² без дополнительных измерений.
Форма сечения зависит от взаимного расположения плоскости и оси цилиндра. Поэтому прежде всего проверяют, параллельна ли плоскость основанию, проходит ли она через ось или параллельна ей. Это важно: одно только слово «цилиндр» не определяет форму полученной фигуры, её задаёт направление разреза.
Если плоскость параллельна основанию, она пересекает прямую боковую поверхность на постоянном расстоянии от оси. Из-за этого линия пересечения является окружностью того же радиуса, что и окружность основания. Внутри плоскости сечением оказывается круг, равный основанию, а не только одна его окружность.
Плоскость, перпендикулярная основаниям и проходящая через ось, пересекает каждое основание по диаметру. Боковая поверхность пересекается двумя образующими — отрезками, идущими вдоль цилиндра от одного основания к другому. Эти отрезки параллельны, а диаметры оснований перпендикулярны им, поэтому граница сечения образует прямоугольник.
Если плоскость параллельна оси, но не проходит через неё, следы плоскости на основаниях — равные хорды. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; здесь равенство хорд объясняется одинаковым смещением плоскости на обоих основаниях. Две образующие соединяют концы этих хорд, поэтому сечение прямоугольное: его высота равна высоте цилиндра, а ширина — длине хорды.
При наклонном положении плоскости нельзя сразу назвать сечение кругом или прямоугольником. Плоскость может пересекать боковую поверхность и основания по линиям, отличным от окружностей, диаметров и параллельных хорд. Чтобы определить форму, нужно проследить, где именно плоскость входит в цилиндр и выходит из него, то есть установить границу общей части.
| Положение секущей плоскости | Вид сечения | Размеры или способ их нахождения |
|---|---|---|
| Параллельна основанию | Круг | Радиус равен радиусу основания |
| Перпендикулярна основаниям и проходит через ось | Прямоугольник (осевое сечение) | Стороны равны высоте цилиндра и диаметру основания |
| Параллельна оси и пересекает цилиндр | Прямоугольник | Высота равна высоте цилиндра, ширина равна длине хорды основания |
Пользуйтесь таблицей в два шага: сначала определите положение плоскости, затем выберите строку с подходящим видом сечения. Для нахождения площади установите размеры фигуры и примените формулу площади круга или прямоугольника. Если плоскость параллельна оси, отдельно найдите хорду, когда её длина не дана.
Нужно определить фигуру до подстановки чисел. Плоскость параллельна основанию, поэтому сечение — круг с тем же радиусом 4 см. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr².
Ответ: 16π см². Здесь не требуется знать высоту цилиндра, так как радиус такого сечения совпадает с радиусом основания. Приближённо площадь равна 50,27 см².
Осевое сечение проходит через ось и потому пересекает основание по диаметру, а не по радиусу. Получается прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру основания. Для площади нужно перемножить эти две стороны.
Ответ: 120 см². Проверка: стороны осевого прямоугольника равны 10 см и 12 см, значит их произведение действительно выражается в квадратных сантиметрах. Радиус 5 см нельзя подставлять вместо ширины сечения.
Сечение будет прямоугольником высотой 8 см, но его ширина не равна диаметру: плоскость смещена относительно оси. Ширина — хорда основания, отстоящая от центра на 3 см. Перпендикуляр от центра окружности к хорде делит её пополам, поэтому можно применить теорему Пифагора.
Ответ: 64 см². Проверка показывает, что хорда короче диаметра 10 см, как и должно быть для плоскости, не проходящей через ось. Затем длина хорды умножена на высоту цилиндра.
Считать, что любое сечение цилиндра — круг, неверно: круг получается, например, при плоскости, параллельной основанию. Ошибка возникает, если переносить на все случаи привычный вид основания. Проверьте направление плоскости: при осевом разрезе сечение будет прямоугольником, а наклонный разрез требует отдельного анализа.
Осевое сечение иногда путают с любым сечением плоскостью, параллельной оси. Но осевым называется только то, плоскость которого проходит через ось; смещённая плоскость пересекает основание по хорде. Чтобы проверить себя, выясните, содержит ли плоскость ось, а не просто параллельна ей.
В осевом прямоугольнике за ширину иногда принимают радиус основания. Причина — смешение радиуса с расстоянием от одного края основания до другого. Проверьте границы: плоскость через ось пересекает круг по диаметру, поэтому сторона прямоугольника равна 2r.
При плоскости, параллельной оси, не всегда можно взять ширину, равную диаметру основания. Это верно лишь тогда, когда плоскость проходит через ось; иначе шириной служит хорда. Проверьте, проходит ли секущая плоскость через центр основания: если нет, найдите длину хорды по данным задачи.
Чтобы разбирать сечения, нужно знать части цилиндра: основания, ось, боковую поверхность, высоту и образующую. Свойства окружности и хорды помогают определить ширину прямоугольного сечения, а теорема Пифагора — вычислить её по радиусу и расстоянию от центра до хорды. Для площадей пригодятся формулы круга и прямоугольника.
Идея сечения связывает плоские фигуры со стереометрией: пространственное тело изучают через фигуры, полученные его пересечением с плоскостью. Этот приём помогает находить площади и размеры частей тела, а также решать более сложные задачи методом сечений. Навык сначала определить геометрию сечения, а затем вычислять его размеры будет полезен и для других многогранников и тел вращения.
Как понять, какую фигуру образует сечение цилиндра?
Сначала установите положение секущей плоскости относительно основания и оси цилиндра. Параллельная основанию плоскость даёт круг, а проходящая через ось — прямоугольник. Для других положений нужно выяснить, какие части цилиндра пересекает плоскость.
Почему сечение плоскостью, параллельной основанию, равно основанию?
Основание и сечение лежат в параллельных плоскостях, а боковая поверхность прямого кругового цилиндра образована параллельными образующими. Поэтому радиус круга на уровне сечения не меняется, и полученный круг имеет тот же размер, что основание.
Чем осевое сечение отличается от сечения плоскостью, параллельной оси?
Осевое сечение обязательно проходит через ось, поэтому его ширина равна диаметру основания. Плоскость, параллельная оси, может быть смещена в сторону: тогда шириной сечения становится хорда основания, которая обычно короче диаметра.
Как найти площадь осевого сечения цилиндра?
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами h и 2r, где h — высота цилиндра, r — радиус основания. Его площадь равна S = 2rh. Подставьте известные значения в эту формулу.
Как определить ширину сечения плоскостью, параллельной оси?
Ширина такого сечения равна длине хорды основания, на которой плоскость пересекает основание. Если известны радиус r и расстояние d от центра основания до хорды, её длину находят по формуле 2√(r² − d²).
53. Сечения цилиндра плоскостями
