"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается к одной вершине. Он возникает, если соединить вершину со всеми точками окружности основания. Чтобы решать задачи о конусе, нужно различать его высоту и образующую, видеть прямоугольный треугольник в осевом сечении и уметь применять формулы площади поверхности и объёма. Эти знания помогают вычислять характеристики тел и решать практические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и конической поверхностью. Боковая поверхность получается, если соединить все точки окружности основания с одной точкой вне плоскости круга. Такое определение помогает представить конус как единое тело, а не только как его контур.
Вершина конуса — точка вне плоскости основания, к которой сходятся образующие. Она служит общей конечной точкой всех отрезков, соединяющих её с точками окружности основания. По положению вершины можно судить, будет ли конус прямым или наклонным.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Его длина обозначается h, а основание перпендикуляра может находиться не в центре круга. Высота нужна, например, для вычисления объёма и не всегда совпадает с отрезком на боковой поверхности.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. В прямом круговом конусе длина каждой образующей одинакова и обычно обозначается l. Этот отрезок задаёт наклон боковой поверхности и используется при нахождении её площади.
Представим круг в плоскости и точку вне этой плоскости. Если соединить эту точку с каждой точкой окружности, получится боковая поверхность конуса; вместе с кругом она ограничит тело. Точка становится вершиной, а соединяющие её отрезки — образующими. Такая конструкция показывает, почему основание конуса именно круг, хотя его боковая граница не является плоской.
Конус называют прямым круговым, если перпендикуляр из вершины падает в центр основания. Отрезок от вершины до центра называют осью конуса; он совпадает с высотой. В сечении через ось радиус основания и высота взаимно перпендикулярны, а образующая соединяет их концы. Поэтому для прямого конуса l² = h² + r²: это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами h и r.
Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. В прямом круговом конусе две стороны полученного треугольника являются образующими и равны, потому что все образующие имеют одну длину. Третья сторона проходит по основанию круга через его центр, то есть является диаметром и равна 2r. Поэтому сечение — равнобедренный треугольник, а его свойства позволяют находить неизвестные элементы конуса.
Если разрезать боковую поверхность прямого конуса по одной образующей и развернуть её на плоскость, получится сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей l, а длина дуги — длине окружности основания, то есть 2πr. Площадь сектора равна половине произведения его радиуса на длину дуги, поэтому Sбок = ½ · l · 2πr = πrl. Добавив площадь основания πr², получаем полную площадь: Sполн = πrl + πr².
Объём конуса равен V = ⅓Sоснh, где Sосн — площадь основания, а h — высота. Для круга Sосн = πr², значит, V = ⅓πr²h. Множитель ⅓ возникает при сравнении конуса с цилиндром той же высоты и с таким же основанием: их горизонтальные сечения на одинаковой высоте имеют площади, связанные так, что объём конуса составляет треть объёма цилиндра. Поэтому в формуле используют именно высоту, а не наклонную образующую.
| Элемент или характеристика | Обозначение | Определение или формула |
|---|---|---|
| Радиус основания | r | Радиус круга-основания |
| Высота | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания |
| Образующая | l | Отрезок от вершины до точки окружности основания |
| Связь элементов | l, h, r | l² = h² + r² |
| Площадь боковой поверхности | Sбок | πrl |
| Площадь полной поверхности | Sполн | πrl + πr² |
| Объём | V | ⅓πr²h |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти. Формулу l² = h² + r² применяйте только для прямого кругового конуса. Для полной площади не забудьте учесть основание, а в объёме используйте высоту.
Задача 1. В прямом круговом конусе радиус основания равен 3 см, а высота — 4 см. Найдите образующую. Поскольку конус прямой, радиус и высота перпендикулярны и вместе с образующей образуют прямоугольный треугольник. Значит, можно применить теорему Пифагора.
Ответ: 5 см.
Задача 2. Радиус основания конуса равен 5 см, образующая — 13 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей. Здесь высота не нужна: формула боковой площади зависит от радиуса и образующей. Для полной площади к боковой нужно прибавить площадь круга-основания.
Ответ: Sбок = 65π см², Sполн = 90π см².
Задача 3. Объём прямого кругового конуса равен 48π см³, высота — 4 см. Найдите радиус основания, затем площадь боковой поверхности. Сначала используем формулу объёма, чтобы определить радиус. После этого найдём образующую по теореме Пифагора и применим формулу боковой площади.
Ответ: r = 6 см, Sбок = 12π√13 см².
Высоту иногда принимают за образующую, потому что оба отрезка начинаются в вершине. Но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая идёт к окружности и обычно наклонена. Перед вычислением отметьте, какие точки соединяет отрезок; это поможет выбрать формулу и не подставить l вместо h.
В формуле объёма можно забыть множитель ⅓ или подставить образующую вместо высоты. Первая ошибка возникает из-за сходства с формулой объёма цилиндра, а вторая — из-за путаницы между элементами. Проверьте запись V = ⅓πr²h: основание задаётся радиусом, а высота должна быть перпендикулярной ему.
Полную площадь иногда считают равной только площади боковой поверхности. Так происходит, когда слово «поверхность» связывают лишь с видимой боковой частью. Проверьте себя: полная поверхность включает и боковую часть, и круг-основание, поэтому используйте Sполн = Sбок + πr².
Связь l² = h² + r² по теореме Пифагора нельзя автоматически применять к любому конусу. Она выводится для прямого кругового конуса, где высота проходит через центр основания и перпендикулярна радиусу. Если конус наклонный, сначала выясните, образуют ли выбранные отрезки прямоугольный треугольник; иначе эта формула не подходит.
Для работы с конусом нужны свойства круга и окружности, формула площади круга и теорема Пифагора. Понимание тела вращения и сечений помогает представить, как устроена боковая поверхность и почему осевое сечение имеет форму треугольника. Формулы конуса пригодятся при изучении площадей поверхностей и объёмов других тел, а также в прикладных задачах, где требуется вычислить вместимость или площадь материала.
Чем высота конуса отличается от его образующей?
Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания, поэтому она образует с этой плоскостью прямой угол. Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания и обычно наклонена к плоскости.
Как найти образующую прямого кругового конуса?
В прямом круговом конусе высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. Поэтому образующую находят по теореме Пифагора: l = √(h² + r²).
Почему осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником?
Осевое сечение проходит через вершину и ось конуса, а его основание — диаметр основания. Боковые стороны сечения являются образующими, и у прямого кругового конуса они равны, поэтому треугольник равнобедренный.
Как найти площадь полной поверхности конуса?
Сложите площадь боковой поверхности и площадь круга-основания. Для прямого кругового конуса Sполн = πrl + πr², где r — радиус основания, l — образующая.
Почему в формуле объёма конуса появляется множитель 1/3?
Конус с теми же площадью основания и высотой имеет треть объёма цилиндра. Это следует из сравнения объёмов тел с одинаковой высотой и равными площадями сечений на каждом уровне.
§ 2. Конус
