"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Цилиндр ограничен боковой поверхностью и двумя равными кругами-основаниями. Чтобы найти площадь его поверхности, боковую часть мысленно разворачивают в прямоугольник, а основания считают как круги. Так получают формулы для боковой и полной площади через радиус основания R и высоту h. Эти вычисления нужны не только в задачах: по ним оценивают материал для оболочек, упаковки и других цилиндрических предметов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, боковая поверхность которого образована отрезками, параллельными его оси, а основаниями служат два равных круга. Ось проходит через центры оснований, а параллельные отрезки соединяют соответствующие точки кругов. Такое устройство помогает представить цилиндр как тело с неизменным круглым сечением вдоль оси. Для вычисления площади важно отдельно рассматривать боковую часть и основания.
Боковая поверхность цилиндра — часть поверхности между двумя основаниями. Она не включает ни верхний, ни нижний круг, поэтому её площадь не равна площади всей внешней поверхности тела. Такое разделение нужно, когда в задаче требуется, например, найти только материал для обёртки без крышек и дна. Полная поверхность, напротив, включает все внешние части цилиндра.
Основания цилиндра — равные круги, расположенные в параллельных плоскостях. Радиус каждого основания обозначают буквой R; радиус — это расстояние от центра круга до его окружности. Оснований всегда два, и их площади одинаковы, поэтому при подсчёте полной поверхности площадь одного основания учитывают дважды. Если дан диаметр, для формул с R сначала находят половину диаметра.
Осевое сечение — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось; у прямого цилиндра оно имеет форму прямоугольника. Его высота равна расстоянию между плоскостями оснований, это расстояние обозначают h. Высота также равна длине образующей прямого цилиндра. Обозначение h понадобится и в развёртке, и в формулах площади.
Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого цилиндра, её мысленно разрезают вдоль образующей и расправляют. Получается прямоугольник: его вертикальная сторона равна высоте h, потому что каждая образующая имеет такую длину. Другая сторона складывается из всех участков окружности основания и потому равна длине этой окружности, то есть 2πR. Развёртка сохраняет площадь исходной поверхности, ведь при расправлении её не растягивают и не сжимают.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому площадь боковой поверхности равна h · 2πR, то есть Sбок = 2πRh. Множитель 2πR появляется не из площади круга, а из длины окружности, которая становится стороной развёртки. Формула применима к прямому цилиндру; она показывает, что при неизменном радиусе увеличение высоты увеличивает боковую площадь пропорционально.
Полная поверхность состоит из боковой части и двух оснований. Площадь каждого основания — круга радиуса R — равна πR², поэтому два основания вместе имеют площадь 2πR². Складывая площади непересекающихся частей поверхности, получаем Sполн = 2πRh + 2πR². Именно два слагаемых отвечают за боковую оболочку и круглые торцы.
Вынеся общий множитель 2πR, можно записать ту же формулу как Sполн = 2πR(h + R). Запись с суммой 2πRh + 2πR² удобна, если нужно отдельно увидеть вклад боковой части и оснований. Свернутая запись короче и чаще удобна при подстановке чисел или преобразовании уравнения. Обе формулы дают один результат, поэтому при вычислениях можно выбрать более понятную форму.
Если известна полная площадь и один линейный параметр, неизвестный параметр находят из формулы полной поверхности. Например, при известных Sполн и R уравнение 2πR(h + R) = Sполн решают относительно h; при известных площади и высоте получают квадратное уравнение относительно R. После вычислений проверяют размерность: площадь измеряется в квадратных единицах, а найденные R и h должны иметь единицы длины. Также проверяют, что полученный радиус или высота положительны.
Таблица показывает, из каких частей складывается поверхность и какие величины нужны для вычислений. Начинайте с определения того, какую площадь спрашивают: боковую или полную. Затем выберите соответствующую формулу и убедитесь, что радиус и высота выражены в одинаковых единицах.
| Часть поверхности | Развёртка или состав | Формула площади |
|---|---|---|
| Боковая поверхность | Прямоугольник со сторонами h и 2πR | Sбок = 2πRh |
| Два основания | Два равных круга радиуса R | 2πR² |
| Полная поверхность | Боковая поверхность и два основания | Sполн = 2πRh + 2πR² = 2πR(h + R) |
| Необходимые величины | Радиус основания R и высота h | Длины в одинаковых единицах; площадь — в квадратных |
Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Здесь основания не входят в искомую площадь, поэтому используем формулу Sбок = 2πRh, а не формулу полной поверхности.
Ответ: 30π см².
Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Найдите площадь полной поверхности. Здесь нужно учесть и боковую часть, и оба основания. Можно применить сразу свернутую формулу, в которой оба вклада уже собраны.
Ответ: 88π см².
Задача 3. Полная площадь поверхности цилиндра равна 96π см², радиус основания — 4 см. Найдите высоту. Неизвестная величина входит в формулу через сумму h + R, поэтому сначала составим уравнение, а затем выразим h.
Ответ: 8 см.
Первая ошибка — назвать полной площадью только боковую поверхность. Её допускают, когда вспоминают формулу 2πRh, но не разбирают, какие части тела ограничивают снаружи. Для проверки перечислите все внешние части цилиндра: оболочка и два круга. Если в ответе нет оснований, площадь неполная.
Вторая ошибка — прибавить площадь только одного основания. Обычно это происходит потому, что внимание сосредоточено на видимом верхнем круге, а нижний забывают. Оснований у цилиндра два, они равны и оба входят в полную поверхность. В формуле проверьте слагаемое 2πR², а не πR².
Третья ошибка — использовать πR² для боковой поверхности. Эта формула относится к площади круга, а боковая поверхность после развёртки становится прямоугольником. Перед вычислением определите форму каждой части и запишите подходящую формулу: для боковой части — 2πRh, для основания — πR². Так легко заметить неверно выбранную формулу.
Четвёртая ошибка — подставить диаметр вместо радиуса. Это случается, когда в условии дана ширина круга, а обозначение R воспринимают как любой известный размер. Сначала найдите радиус: R = d/2, где d — диаметр, и только потом подставляйте его. Проверка простая: радиус должен быть вдвое меньше диаметра.
Для формул площади цилиндра нужны длина окружности 2πR и площадь круга πR²: первая даёт сторону прямоугольника-развёртки, вторая — площадь каждого основания. Развёртки помогают представить, как плоская фигура соответствует поверхности тела. На практике вычисления полезны при оценке материала для оболочек и упаковки, хотя для швов и припусков могут потребоваться дополнительные измерения. Та же идея развёртки применяется при нахождении площадей поверхностей конуса и других тел вращения.
Почему развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник?
У прямого цилиндра образующие — отрезки, перпендикулярные основаниям, и все они имеют длину h. Если разрезать боковую поверхность вдоль одной образующей и развернуть её, верхний и нижний края станут равными отрезками длиной 2πR. Поэтому получится прямоугольник со сторонами h и 2πR.
Откуда в формуле боковой площади появляется множитель 2πR?
При развёртывании боковой поверхности окружность основания становится стороной прямоугольника. Её длина равна 2πR. Умножив эту длину на высоту h, получаем площадь прямоугольника и боковой поверхности.
Почему к боковой поверхности прибавляют площадь двух кругов?
Полная поверхность включает не только боковую часть, но и верхнее и нижнее основания. Каждое основание — круг площади πR², а кругов два. Поэтому к боковой площади прибавляют 2πR².
Можно ли найти площадь полной поверхности, если известен только радиус?
Нет, одного радиуса недостаточно: боковая площадь зависит ещё и от высоты. При одном и том же радиусе цилиндры могут быть разной высоты, а значит, иметь разные полные площади. Нужна дополнительная информация о высоте или площади.
Как найти высоту цилиндра, если известны его полная площадь и радиус?
Подставьте известные значения в равенство Sполн = 2πR(h + R) и решите его относительно h. Получится h = Sполн/(2πR) − R. Проверьте, что найденная высота положительна и выражена в единицах длины.
1.2. Площадь поверхности цилиндра
