1.1. Понятие цилиндра

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами, расположенными в параллельных плоскостях. Его граница состоит из двух оснований-кругов и боковой поверхности, которая соединяет их. Цилиндрической называют поверхность, образованную движением прямой вдоль окружности. Такое определение помогает отличить само тело от его границы.

Основания цилиндра — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Центры этих кругов находятся на оси цилиндра. Основанием является весь круг, а не только ограничивающая его окружность. Это различие нужно, чтобы правильно называть части тела.

Боковая поверхность цилиндра — часть его границы, соединяющая окружности оснований. Её можно представить как множество отрезков, каждый из которых соединяет соответствующие точки этих окружностей. В отличие от основания, боковая поверхность не плоская. Это понятие позволяет отдельно рассматривать боковую часть и основания.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие цилиндра параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. В прямом цилиндре они перпендикулярны плоскостям оснований. Образующие показывают, как именно боковая поверхность соединяет основания.

Как это устроено

Представь прямоугольник, который вращают вокруг одной из его сторон. Сторона, оставшаяся на месте, задаёт ось цилиндра, а противоположная ей сторона при вращении описывает окружность. Две остальные стороны прямоугольника движутся параллельно оси и образуют боковую поверхность. Так становится понятно, откуда у тела берутся основания и образующие.

При вращении каждая точка прямоугольника, не лежащая на оси, движется по окружности. Точки на одной стороне прямоугольника описывают окружность в одной плоскости, а точки на противоположной стороне — такую же окружность в параллельной плоскости. Радиусы этих окружностей равны, потому что расстояние от точек до оси задаётся одной и той же стороной прямоугольника. Поэтому основания цилиндра равны и параллельны.

Точки боковой стороны прямоугольника во время вращения проходят отрезки, параллельные оси. Каждый такой путь соединяет соответствующие точки окружностей оснований, поэтому становится образующей цилиндра. Поскольку все эти пути равны стороне прямоугольника и параллельны ей, образующие равны и параллельны. В прямом круговом цилиндре ось перпендикулярна плоскостям оснований, а образующие ей параллельны; значит, образующие тоже перпендикулярны основаниям.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований, то есть длина перпендикуляра, проведённого от одной плоскости к другой. У прямого цилиндра образующая сама перпендикулярна основаниям и соединяет их, поэтому её длина равна высоте. У наклонного цилиндра образующая соединяет основания по наклонному направлению, а высота измеряется перпендикулярно плоскостям. Поэтому в общем случае длины образующей и высоты различаются.

Ось проходит через центры оснований и задаёт направление цилиндра, но сама по себе не определяет его толщину. Радиус основания измеряется от центра круга до его окружности и лежит в плоскости основания. Высота измеряется между плоскостями оснований, а не внутри одного основания. Разделяя эти величины, легче понять условия задач и не подменять один элемент другим.

Элементы прямого кругового цилиндра

Сначала определите, какая часть тела изображена: круг в основании, изогнутая боковая поверхность или отрезок-образующая. Затем проверьте расположение элемента относительно центров и плоскостей оснований. Для прямого цилиндра можно использовать связь высоты и образующей, но не следует переносить её на наклонный цилиндр.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображён цилиндр. Укажите его основания, боковую поверхность, ось, радиус основания и одну образующую. Сначала ищем центры кругов: прямая через них задаёт ось. Затем отличаем сами круги от линий, которые их ограничивают.

1. Основания — два равных круга, расположенные в параллельных плоскостях. Их границы — окружности, но окружности не являются основаниями.
2. Боковая поверхность — изогнутая часть границы, соединяющая окружности оснований. Она не является плоской фигурой.
3. Ось — прямая через центры оснований. Радиус — отрезок от центра одного основания до его окружности.
4. Образующая — любой отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. На рисунке достаточно указать один такой отрезок.

Ответ: основания — два круга; боковая поверхность — их изогнутая часть; ось проходит через центры кругов; радиус проведён от центра до окружности; образующая соединяет соответствующие точки окружностей.

Задача 2

Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращают вокруг стороны длиной 7 см. Определите радиус основания, высоту цилиндра и длину образующей. При вращении сторона, вокруг которой происходит движение, остаётся на месте и становится осью. Сторона, перпендикулярная ей, задаёт расстояние от оси до края круга.

1. Сторона вращения равна 7 см, значит, она задаёт высоту цилиндра: h = 7 см.
2. Другая сторона прямоугольника равна 4 см. Она становится радиусом основания: r = 4 см.
3. Образующие параллельны оси, а цилиндр получен вращением прямоугольника, поэтому цилиндр прямой. Его образующая равна высоте: 7 см.

Ответ: радиус основания — 4 см, высота — 7 см, длина образующей — 7 см.

Задача 3

Высота прямого кругового цилиндра равна 6 см, а радиус основания — 3 см. Опишите осевое сечение и укажите его размеры. Осевым называют сечение плоскостью, которая проходит через ось. Такая плоскость пересекает основание по диаметру, поэтому нужно использовать не радиус, а удвоенный радиус.

1. Диаметр основания равен 2r = 2 · 3 = 6 см.
2. Одна сторона осевого сечения равна высоте цилиндра, то есть 6 см. Другая сторона равна диаметру основания, тоже 6 см.
3. Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник, стороны которого равны высоте и диаметру основания. В данном случае это прямоугольник 6 см на 6 см, то есть квадрат.

Ответ: осевое сечение — прямоугольник со сторонами 6 см и 6 см; в этом случае он является квадратом.

Типичные ошибки

Называть основаниями только окружности — ошибка: основание цилиндра представляет собой круг, а окружность служит его границей. Путают эти понятия, потому что на рисунках границы часто выделены линиями. Проверь себя: основание включает всю область внутри окружности.

Считать, что высота всегда равна образующей, неверно для наклонного цилиндра. Такое заблуждение возникает из-за того, что в прямом цилиндре эти отрезки совпадают по длине. Уточни, прямой ли цилиндр дан: равенство верно только для прямого.

Радиус основания и высота — разные величины: радиус лежит в плоскости круга, а высота измеряется между плоскостями оснований. Их легко перепутать, если на рисунке не подписаны направления отрезков. Проверь, куда проведён отрезок: от центра к окружности или перпендикулярно между основаниями.

Боковую поверхность иногда принимают за плоскую фигуру, потому что её можно разрезать и развернуть. Но в самом цилиндре она искривлена; прямоугольником становится её развёртка у прямого кругового цилиндра. Чтобы проверить себя, представь поверхность до разрезания, а не после распрямления.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра нужны знания об окружности и круге, параллельных плоскостях, перпендикуляре и расстоянии между плоскостями. Также полезно понимать, как фигура движется при вращении вокруг прямой. Эти понятия объясняют устройство цилиндра и помогают находить его элементы. Дальше они понадобятся при изучении развёртки, площади поверхности, объёма цилиндра и сечений тел вращения.

Что запомнить

• Цилиндр ограничен двумя равными кругами и боковой поверхностью.
• Плоскости оснований параллельны.
• Ось проходит через центры оснований.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• В прямом цилиндре образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте.
• Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник.