"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Цилиндр — пространственное тело с двумя равными круглыми основаниями и боковой поверхностью между ними. В прямом круговом цилиндре основания лежат в параллельных плоскостях, а ось проходит через их центры. Образующая соединяет соответствующие точки окружностей, высота равна расстоянию между плоскостями оснований. Эти элементы помогают распознавать цилиндр, строить его сечения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Для прямого кругового цилиндра его основания являются равными кругами. Это определение показывает, какие части входят в границу тела.
Основания цилиндра — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. Они ограничивают цилиндр сверху и снизу. По основаниям удобно определять радиус, диаметр и расстояние между плоскостями.
Боковая поверхность цилиндра — часть цилиндрической поверхности между плоскостями оснований. Она соединяет соответствующие окружности этих оснований. При развёртке прямого цилиндра боковая поверхность превращается в прямоугольник.
Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого кругового цилиндра образующие параллельны оси. По образующей можно определить высоту прямого цилиндра.
Представим прямоугольник, вращающийся вокруг одной из его сторон. Эта сторона остаётся неподвижной и становится осью цилиндра. Противоположная сторона перемещается по окружности и описывает боковую поверхность. Две оставшиеся стороны вращаются и образуют круги.
Круги возникают из вращения двух противоположных сторон прямоугольника. У этих сторон одинаковая длина, поэтому расстояние от каждой до оси одинаково, а получившиеся круги имеют один и тот же радиус. Плоскости кругов параллельны, потому что соответствующие стороны прямоугольника лежат в параллельных положениях при вращении. Поэтому эти круги являются равными основаниями цилиндра.
Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований. В прямом круговом цилиндре она перпендикулярна плоскостям оснований, поэтому задаёт кратчайшее направление от одного основания к другому. Высотой называют расстояние между плоскостями оснований. Если известны координаты или положение оснований, высота определяется именно этим расстоянием, а не длиной произвольного отрезка внутри тела.
В прямом цилиндре образующая идёт перпендикулярно основаниям и потому параллельна оси. Её концы находятся на соответствующих окружностях, а все такие отрезки имеют одинаковую длину. Поскольку образующая соединяет основания по перпендикулярному направлению, её длина совпадает с расстоянием между их плоскостями, то есть с высотой. Плоскость, проходящая через ось, пересекает основания по диаметрам, а боковую поверхность — по двум образующим, поэтому сечением становится прямоугольник со сторонами h и d = 2r.
| Элемент или характеристика | Что означает | Как определить или представить |
|---|---|---|
| Основания | Два равных круга в параллельных плоскостях | Найти их центры, радиус r и диаметр d = 2r |
| Боковая поверхность | Часть цилиндрической поверхности между основаниями | Представить как поверхность, соединяющую окружности |
| Ось | Прямая через центры оснований | Соединить центры кругов прямой линией |
| Образующая | Отрезок на боковой поверхности между окружностями | Провести отрезок между соответствующими точками оснований |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | В прямом цилиндре равна образующей |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью через ось | Получить прямоугольник со сторонами h и 2r |
Таблица помогает быстро отличить элементы цилиндра по их положению и назначению. При решении задачи сначала определите, о каком элементе говорится, а затем используйте соответствующую связь с радиусом, диаметром или высотой.
Особенно полезно помнить последнюю строку: осевое сечение переводит пространственную задачу в задачу о прямоугольнике.
На рисунке изображён прямой круговой цилиндр. Нужно назвать его основания, ось и одну образующую. Обозначения на конкретном чертеже определяют названия элементов, поэтому сначала ищем центры кругов и соответствующие точки окружностей.
Ответ: основания — два изображённых круга, ось — отрезок, соединяющий их центры, одна образующая — отрезок между соответствующими точками окружностей.
Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Требуется найти стороны осевого сечения. Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте, а другая диаметру основания.
Ответ: стороны осевого сечения равны 5 см и 6 см.
Осевое сечение прямого кругового цилиндра — квадрат со стороной 8 см. Нужно найти радиус основания и высоту. У квадрата обе стороны равны 8 см, а стороны осевого сечения соответствуют высоте и диаметру основания.
Ответ: радиус основания равен 4 см, высота цилиндра — 8 см.
Образующую иногда называют осью, потому что оба отрезка соединяют основания. Ошибка возникает из-за невнимания к положению: ось проходит через центры кругов, а образующая лежит на боковой поверхности. Проверьте, касается ли отрезок центра основания: если нет, это не ось.
Радиус основания иногда принимают за сторону осевого сечения. Причина в том, что радиус хорошо заметен на изображении, но сечение через ось содержит целый диаметр. Для проверки найдите середину соответствующей стороны сечения: расстояние от неё до края равно радиусу.
Нельзя считать, что высота любого цилиндра равна образующей. Такое равенство верно для прямого кругового цилиндра, где образующая перпендикулярна основаниям. Если цилиндр наклонный, сравнивайте высоту с расстоянием между плоскостями оснований.
Боковую поверхность путают со всей границей цилиндра. Основания не входят в боковую поверхность, поскольку они являются отдельными кругами. Проверьте определение: боковая поверхность соединяет окружности, а основания заполняют эти окружности.
Для изучения цилиндра нужны знания о круге и окружности, радиусе и диаметре, параллельных плоскостях, расстоянии между ними и прямоугольнике. Эти понятия позволяют понимать устройство цилиндра и находить стороны его осевого сечения.
Понятие цилиндра понадобится при изучении площади его поверхности и объёма. Оно также используется в задачах о сечениях пространственных тел, где важно правильно распознавать ось, образующие и основания.
Чем цилиндр отличается от цилиндрической поверхности?
Цилиндр — это тело, включающее боковую цилиндрическую поверхность и два основания. Цилиндрическая поверхность является только боковой частью границы и не содержит кругов-оснований.
Что называют осью цилиндра?
Осью прямого кругового цилиндра называют прямую, проходящую через центры его оснований. Она перпендикулярна плоскостям оснований и задаёт направление цилиндра.
Всегда ли образующая равна высоте цилиндра?
Нет, это свойство прямого кругового цилиндра. У наклонного цилиндра образующая может быть длиннее расстояния между плоскостями оснований.
Почему осевое сечение цилиндра является прямоугольником?
Плоскость осевого сечения проходит через ось, поэтому пересекает каждое основание по диаметру. Боковые стороны сечения являются образующими, перпендикулярными основаниям, поэтому полученная фигура — прямоугольник.
Как найти радиус основания по осевому сечению?
Одна сторона осевого сечения равна диаметру основания. Поэтому радиус находят делением этой стороны на 2: r = d : 2.
59. Понятие цилиндра
