§ 1. Цилиндр

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Круги заполняют концы тела, а боковая поверхность соединяет их края. Поэтому цилиндр — не только изогнутая оболочка, но и пространство внутри неё вместе с основаниями. Это различие понадобится, когда нужно определить, какую именно поверхность измеряют в задаче.

Основания цилиндра — равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Они равны, потому что один круг можно совместить с другим параллельным переносом. Радиус основания обозначают r; это расстояние от центра круга до его окружности. Основания задают размер поперечного сечения цилиндра.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все такие отрезки соединяют края двух оснований и задают направление боковой поверхности. У прямого цилиндра образующие параллельны оси. Это помогает отличать их от оси, которая проходит внутри тела, а не по его поверхности.

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований, а высота h — расстояние между плоскостями оснований. Высота измеряет, насколько основания удалены друг от друга, а не длину произвольного отрезка на боковой поверхности. Для прямого цилиндра ось перпендикулярна основаниям. Эти определения позволяют находить размеры цилиндра по его изображению или сечению.

Как это устроено

Представь круг и перемещай его параллельно самому себе, не меняя размера и направления. Каждая точка круга при таком движении проходит отрезок, а точки окружности заметает боковую поверхность. В начале и в конце движения остаются два равных круга — основания цилиндра. Если перемещение направлено наклонно к плоскости круга, получится наклонный цилиндр; так становится понятно, почему цилиндр не обязательно прямой.

Прямой круговой цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. При вращении эта сторона остаётся на месте и становится осью, а противоположная ей сторона описывает боковую поверхность. Две другие стороны вращаются вокруг оси и заметает круги оснований. Такое построение объясняет, почему ось прямого цилиндра проходит через центры оснований и перпендикулярна им.

У прямого цилиндра образующая перпендикулярна плоскостям оснований. Высота — перпендикулярное расстояние между этими плоскостями, поэтому образующая, соединяющая основания по нормальному направлению, имеет ту же длину: l = h. У наклонного цилиндра образующая идёт под углом, поэтому её длина не обязана совпадать с высотой. Значит, равенство l = h можно применять именно для прямого цилиндра.

Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. В прямом круговом цилиндре плоскость пересекает основания по их диаметрам, а боковую поверхность — по двум образующим. Диаметры параллельны друг другу, образующие перпендикулярны им, поэтому получившаяся фигура — прямоугольник. Его стороны равны диаметру основания 2r и высоте h.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, мысленно разрежь её вдоль образующей и разверни на плоскость. Получится прямоугольник: одна сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr. Площадь прямоугольника равна произведению сторон, поэтому Sбок = 2πrh. Полная поверхность включает ещё два круга, каждый площадью πr², откуда Sполн = 2πrh + 2πr².

Элементы прямого кругового цилиндра и связанные с ними величины

В таблице собраны обозначения для прямого кругового цилиндра: сначала найди нужные линейные размеры, затем выбери соответствующую формулу. Если известна образующая, можно подставить её вместо высоты только для прямого цилиндра, где l = h. Для полной площади не забудь оба основания.

Разбор задач

Как распознать элементы цилиндра

Условие: распознать цилиндр на изображении и указать его основания, ось, высоту и образующие. Поскольку конкретные точки на изображении не обозначены, определим элементы по их положению. Это универсальный способ: он подходит к чертежу с любыми буквенными обозначениями. Главное — не принять внутреннюю ось за отрезок боковой поверхности.

1. Найди два равных круга в параллельных плоскостях: это основания цилиндра.
2. Отметь центры этих кругов и проведи через них прямую: она является осью.
3. Высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований; у прямого цилиндра её можно показать отрезком, перпендикулярным основаниям.
4. Образующие соединяют соответствующие точки окружностей оснований и лежат на боковой поверхности. У прямого цилиндра они параллельны оси и равны высоте.

Ответ: основания — два равных круга; ось проходит через их центры; высота равна расстоянию между плоскостями оснований; образующие соединяют окружности оснований на боковой поверхности. Если чертёж наклонён в перспективе, ориентируйся на смысл элементов, а не на видимый угол линий. Ось и образующая отличаются расположением: первая проходит внутри тела, вторая — по его поверхности.

Площади при заданных радиусе и высоте

Условие: радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найти площади боковой и полной поверхности. Подставим числа в формулы прямого кругового цилиндра. Сначала найдём боковую часть, а затем прибавим площади обоих оснований.

1. Запишем данные: r = 3 см, h = 5 см.
2. Найдём боковую площадь: Sбок = 2πrh = 2π · 3 · 5 = 30π см².
3. Площадь двух оснований равна 2πr² = 2π · 3² = 18π см².
4. Сложим части: Sполн = 30π + 18π = 48π см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна 30π см², полная площадь — 48π см². Единицы площади записываются в квадратных сантиметрах, поскольку формулы перемножают длины. Полезно проверить, что в полной площади прибавлены два основания, а не одно.

Осевое сечение-квадрат

Условие: осевое сечение прямого кругового цилиндра — квадрат со стороной 8 см. Найти радиус основания, высоту и полную площадь поверхности. В осевом сечении стороны прямоугольника равны диаметру основания и высоте. Так как сечение является квадратом, обе эти величины равны 8 см.

1. Высота равна стороне квадрата: h = 8 см.
2. Диаметр основания равен второй стороне: 2r = 8 см, поэтому r = 4 см.
3. Подставим размеры в формулу полной площади: Sполн = 2πrh + 2πr².
4. Вычислим: Sполн = 2π · 4 · 8 + 2π · 4² = 64π + 32π = 96π см².

Ответ: r = 4 см, h = 8 см, Sполн = 96π см². Радиус составляет половину ширины осевого сечения, потому что его ширина — диаметр 2r. Перед вычислениями удобно сначала выписать, чему равны стороны сечения.

Типичные ошибки

• Называть цилиндром только боковую поверхность — значит исключать основания из тела. Так ошибаются, представляя цилиндр как оболочку или трубу. Проверь себя: у цилиндра как тела должны быть и боковая часть, и два основания.
• Считать, что образующая всегда равна высоте, неверно для наклонного цилиндра. Путают эти величины, потому что обе соединяют области у оснований. Проверь, перпендикулярна ли образующая плоскостям оснований: равенство l = h гарантировано для прямого цилиндра.
• В формуле полной площади забывать одно или оба основания — значит учитывать не всю поверхность. Ошибка возникает, когда площадь боковой части принимают за полную. Сверь формулу с составом тела: к Sбок нужно прибавить 2πr².
• Принимать радиус за ширину осевого сечения нельзя: эта ширина равна диаметру 2r. Обычно путают их, не замечая, что сечение проходит через весь круг через центр. Проверь: радиус — половина ширины, поэтому при ширине 8 см радиус равен 4 см.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра нужны понятия окружности и круга, радиус и диаметр, а также формулы длины окружности и площади круга. Позже цилиндрические тела и формулы их поверхностей пригодятся при изучении объёмов, конуса и сферы. Развёртка показывает связь пространственной геометрии с плоскими фигурами: поверхность цилиндра превращается в прямоугольник, площадь которого можно вычислить обычным умножением сторон.

Что запомнить

• Основания цилиндра — равные круги в параллельных плоскостях.
• Ось проходит через центры оснований.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• У прямого цилиндра образующая равна высоте.
• Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r и h.
• Sбок = 2πrh.
• Sполн = 2πrh + 2πr².