60. Площадь поверхности цилиндра

Определения и обозначения

Боковая поверхность цилиндра — часть поверхности, соединяющая его основания. Если мысленно разрезать её вдоль образующей, то есть отрезка, соединяющего точки окружностей оснований, и расправить, получится прямоугольник. Это представление помогает понять, откуда берётся формула площади: вместо кривой поверхности можно рассмотреть площадь прямоугольника.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания. Обозначим радиус основания буквой r, а высоту — буквой h. Тогда стороны развёртки равны h и 2πr, потому что длина окружности радиуса r вычисляется по формуле 2πr. Развёртка позволяет находить площадь боковой части обычной формулой площади прямоугольника.

Площадь боковой поверхности цилиндра — площадь его развёртки, то есть произведение длины окружности основания на высоту. Поэтому Sбок = 2πrh. Эта величина показывает, сколько площади занимает только боковая часть, без кругов сверху и снизу. Такое различие пригодится, например, если нужно покрыть материалом только боковую стенку предмета.

Площадь полной поверхности цилиндра — сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Основания цилиндра — равные круги, поэтому их общая площадь равна 2πr². Для нахождения полной площади к Sбок прибавляют эту величину. Такое определение нужно, когда учитывают всю внешнюю поверхность цилиндра, включая оба торца.

Как это устроено

Представим, что цилиндр разрезали по прямой, идущей вдоль его боковой поверхности, а затем развернули её. Эта прямая называется образующей и становится одной из сторон получившейся фигуры. Все образующие цилиндра равны его высоте, поэтому одна сторона развёртки имеет длину h. Края поверхности, шедшие по окружностям оснований, распрямляются, но сохраняют свою длину; так получается прямоугольник.

Ширина этого прямоугольника равна длине окружности основания, а не радиусу или диаметру: именно весь круговой край превращается в прямой отрезок. Для окружности радиуса r длина равна 2πr. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, значит, площадь боковой поверхности составляет h · 2πr. Так выводится формула Sбок = 2πrh, а не просто запоминается без объяснения.

У цилиндра есть два основания, и каждое из них является кругом радиуса r. Площадь одного такого круга равна πr², поэтому для двух оснований получаем πr² + πr² = 2πr². Чтобы найти всю внешнюю поверхность, нужно учесть и боковую часть, и оба круга. Следовательно, общая площадь складывается из площадей трёх частей: развёртки и двух оснований.

Подставляя выражения для боковой поверхности и оснований, получаем Sполн = 2πrh + 2πr². Вынесем общий множитель 2πr: Sполн = 2πr(h + r). Обе записи равносильны, но первая явно показывает, какие части складываются, а вторая удобна для вычислений. Если спрашивают площадь только боковой поверхности, слагаемое 2πr² добавлять нельзя.

Перед подстановкой проверьте, какие величины известны и в каких единицах они заданы. Если дан диаметр основания, его нужно разделить на 2, поскольку в формулах используется радиус; если длины записаны в разных единицах, сначала переведите их к одной. Затем выберите формулу по вопросу задачи и подставьте значения. Полученная площадь будет выражена в квадратных единицах, например в см² или м².

Площади поверхностей цилиндра

Сначала определите по условию, какую именно площадь требуется найти. Для боковой поверхности берите только первую строку, а для полной — последнюю; строка про два основания показывает, какую площадь добавляют к боковой. Буквы r и h во всех строках обозначают радиус основания и высоту цилиндра.

Разбор задач

Задача 1

Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности. Поскольку основания в ответе не требуются, использовать полную площадь не нужно. Достаточно найти площадь прямоугольной развёртки.

1. Запишем формулу боковой поверхности: Sбок = 2πrh.
2. Подставим r = 3 см и h = 5 см: Sбок = 2π · 3 · 5.
3. Выполним умножение: Sбок = 30π см².

Ответ: 30π см².

Задача 2

Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Найдите площадь полной поверхности. В отличие от предыдущей задачи, здесь нужно учесть и боковую стенку, и оба основания. Можно сначала вычислить каждую часть отдельно, чтобы не забыть круги.

1. Площадь боковой поверхности равна Sбок = 2π · 4 · 7 = 56π см².
2. Площадь двух оснований равна 2πr² = 2π · 4² = 32π см².
3. Сложим площади: Sполн = 56π + 32π = 88π см².

Ответ: 88π см².

Задача 3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60π см², радиус основания — 5 см. Найдите высоту и площадь полной поверхности. Неизвестную высоту сначала найдём из формулы боковой площади, а затем подставим её в выражение для полной. Такой порядок удобен, потому что полная площадь зависит и от радиуса, и от высоты.

1. Запишем 60π = 2π · 5 · h, то есть 60π = 10πh.
2. Разделим обе части равенства на 10π: h = 6 см.
3. Площадь двух оснований равна 2π · 5² = 50π см².
4. Прибавим её к заданной боковой площади: Sполн = 60π + 50π = 110π см².

Ответ: высота — 6 см, площадь полной поверхности — 110π см².

Типичные ошибки

Площадь боковой поверхности часто принимают за полную. Это происходит, если остановиться после вычисления площади развёртки и не учесть круглые основания. Проверьте формулировку вопроса: если требуется полная поверхность, в ответе должны быть учтены все три части цилиндра.

Другая ошибка — прибавить к боковой поверхности площадь только одного основания. Её допускают, забывая, что у цилиндра два равных основания. Для самопроверки отдельно запишите площадь одного круга πr² и умножьте её на 2: к боковой площади добавляется 2πr².

Если в условии указан диаметр, его иногда подставляют вместо r. Так делать нельзя: обозначение r в формулах означает радиус, то есть половину диаметра. Перед вычислениями найдите r = d/2 и проверьте, что подстановка выполнена именно с радиусом.

Нельзя подставлять в одну формулу длины, записанные в разных единицах, например радиус в сантиметрах, а высоту в метрах. Такая ошибка приводит к неверному результату, даже если арифметика выполнена правильно. Сначала переведите обе величины в одни единицы, а после вычисления укажите площадь в квадратных единицах.

Связь с другими темами

Чтобы вычислять площадь поверхности цилиндра, нужны формулы длины окружности 2πr и площади круга πr². Также важно различать радиус и диаметр, поскольку в формулах используется радиус. Эти знания применяются на практике: по площади можно оценить количество материала для изготовления или покрытия цилиндрического предмета. Тема связана с вычислением площадей поверхностей других тел вращения и с объёмом цилиндра: площадь описывает поверхность, а объём — пространство внутри тела.

Что запомнить

• Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник.
• Стороны этого прямоугольника равны h и 2πr.
• Sбок = 2πrh.
• Площадь двух оснований равна 2πr².
• Sполн = 2πrh + 2πr².
• В формулах r обозначает радиус основания, h — высоту цилиндра.