"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается к вершине. Его можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Для решения задач важно различать высоту и образующую, понимать устройство осевого сечения и знать связь l² = h² + r². Развёртка боковой поверхности — сектор круга, а её площадь и площадь основания позволяют найти площади поверхностей конуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и конической поверхностью. Его можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов: при этом второй катет описывает круг, а гипотенуза — боковую поверхность. Такое представление помогает увидеть, откуда берутся основные элементы конуса.
Коническая поверхность образуется при вращении гипотенузы вокруг катета. Она состоит из всех отрезков, соединяющих вершину с точками окружности основания, но сама по себе не включает круг-основание. Поэтому поверхность и ограниченное ею вместе с кругом тело — разные понятия.
Вершина — общая точка образующих, а основание — круг, ограничивающий конус снизу. Осью называют прямую, проходящую через вершину и центр основания; высотой — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Высота нужна, чтобы измерять расстояние от вершины до основания, а ось задаёт направление конуса.
Радиус основания обычно обозначают r, высоту — h, а образующую — l. Образующая — отрезок от вершины до точки окружности основания, поэтому она наклонена к плоскости основания, в отличие от высоты. У прямого кругового конуса эти элементы связаны равенством l² = h² + r².
При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного катета этот катет остаётся на месте и становится осью конуса. Его длина задаёт высоту, потому что он перпендикулярен плоскости, в которой лежит основание. Второй катет вращается вокруг оси и описывает круг, а его длина становится радиусом этого круга. Гипотенуза при вращении заметает боковую поверхность, а каждый её поворот задаёт одну образующую.
Основание получается кругом, потому что конец вращающегося катета всё время находится на одинаковом расстоянии от оси. Это расстояние и есть радиус окружности, которую описывает конец катета. Любая образующая идёт от вершины к точке этой окружности: при вращении гипотенуза занимает все положения, а не только одно. Поэтому образующие составляют боковую поверхность, а их общая вершина показывает, где конус сужается.
Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. Такая плоскость пересекает боковую поверхность по двум образующим, симметричным относительно оси, поэтому они равны и образуют боковые стороны равнобедренного треугольника. Сечение проходит через центр круга основания, значит, его нижняя сторона совпадает с диаметром основания. Если радиус основания равен r, основание этого треугольника равно 2r.
Если соединить вершину с центром основания и с точкой окружности, получится прямоугольный треугольник. Его катеты — высота h и радиус r, а гипотенуза — образующая l: высота перпендикулярна плоскости основания, а радиус лежит в этой плоскости. По теореме Пифагора l² = h² + r². Это равенство помогает находить один из трёх элементов, если известны два остальных.
Если разрезать боковую поверхность по одной образующей и разложить её на плоскости, получится сектор круга. Радиус сектора равен l, потому что расстояние от вершины до любой точки боковой поверхности измеряется образующей. Дуга сектора при сворачивании соединяется в окружность основания, поэтому её длина равна 2πr. Так можно объяснить формулу площади боковой поверхности: площадь такого сектора равна половине произведения его радиуса на длину дуги, то есть Sбок = ½ · l · 2πr = πrl.
| Элемент или характеристика | Обозначение | Смысл или связь |
|---|---|---|
| Радиус основания | r | Радиус круга основания |
| Высота | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания |
| Образующая | l | l² = h² + r² |
| Осевое сечение | — | Равнобедренный треугольник с основанием 2r и боковыми сторонами l |
| Площадь боковой поверхности | Sбок | πrl |
| Площадь полной поверхности | Sполн | πrl + πr² |
Сначала найдите в условии известные величины и обозначьте их через r, h или l. Если не хватает одного элемента прямоугольного треугольника, используйте теорему Пифагора, а для площадей — соответствующую строку таблицы. Полная площадь включает боковую поверхность и круг основания.
Прямой круговой конус имеет радиус основания 3 см и высоту 4 см. Найдём длину образующей. Здесь известны оба катета прямоугольного треугольника, образованного радиусом и высотой, поэтому применим теорему Пифагора.
Ответ: 5 см. Проверка: образующая больше каждого из катетов, как и должно быть у гипотенузы.
Радиус основания конуса равен 5 см, образующая — 13 см. Найдём высоту и площадь боковой поверхности. Сначала восстановим прямоугольный треугольник: образующая — гипотенуза, а радиус и высота — катеты. После нахождения высоты используем формулу площади, которой нужны радиус и образующая.
Ответ: высота 12 см, площадь боковой поверхности 65π см². Найденная высота вместе с радиусом даёт тройку 5, 12, 13, что подтверждает вычисление по теореме Пифагора.
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см. Требуется найти радиус, высоту и полную площадь поверхности. Боковые стороны сечения являются образующими, а его основание — диаметром основания конуса, поэтому сначала переводим данные треугольника в элементы конуса.
Ответ: радиус 6 см, высота 8 см, полная площадь поверхности 96π см². В решении основание осевого сечения сначала разделили пополам, потому что высота равнобедренного треугольника делит его основание на два равных отрезка.
Образующую иногда принимают за высоту, потому что обе выходят из вершины. Но высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена к ней и идёт к окружности; проверить себя можно по рисунку или по определению. В прямом конусе образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому она длиннее высоты.
Ещё одна ошибка — считать основание осевого сечения радиусом конуса. Оно является диаметром и равно 2r, так как проходит через центр круга от одной его стороны до другой. Чтобы проверить вычисление, разделите длину основания сечения пополам: результат должен быть радиусом.
Равенство l² = h² + r² не следует автоматически применять к любому конусу. Оно верно для прямого кругового конуса, у которого высота падает в центр основания и вместе с радиусом образует прямоугольный треугольник с образующей. Перед использованием формулы проверьте, что в условии речь именно о таком конусе.
Наконец, площадь боковой поверхности и площадь всей поверхности — не одно и то же. В первой формуле учитывают только развёрнутую боковую часть, а во второй к ней прибавляют площадь основания πr². Если задача спрашивает полную площадь, проверьте, что в ответе есть оба слагаемых: πrl и πr².
Для работы с конусом нужны знания о круге и окружности: радиус, диаметр, длина окружности и площадь круга. Теорема Пифагора помогает находить неизвестные элементы прямого конуса, а площадь сектора связывает его развёртку с боковой поверхностью. Конус, как и цилиндр, относится к телам вращения, но при вращении треугольника боковая поверхность сужается к вершине. Эти представления пригодятся при изучении усечённого конуса и вычислении объёмов тел.
Чем образующая конуса отличается от его высоты?
Высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания, а образующая соединяет вершину с точкой окружности основания. У прямого конуса высота и радиус образуют с образующей прямоугольный треугольник. Поэтому образующая обычно длиннее высоты.
Почему осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником?
Осевое сечение проходит через ось конуса и пересекает боковую поверхность по двум образующим. Они равны, поскольку получены вращением одного и того же отрезка вокруг оси. Основание сечения — диаметр круга основания.
Как найти образующую, если известны радиус основания и высота?
Для прямого кругового конуса радиус, высота и образующая составляют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l = √(r² + h²). Например, при r = 3 и h = 4 образующая равна 5.
Как по развёртке найти площадь боковой поверхности конуса?
Боковая поверхность разворачивается в сектор круга радиуса l. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания, то есть 2πr. Площадь сектора можно вычислить по формуле Sбок = πrl.
Почему в формуле полной площади нужно прибавлять площадь основания?
Боковая поверхность не включает круг-основание, поэтому её площади недостаточно для всей поверхности тела. К площади боковой поверхности прибавляют площадь круга πr². Получается Sполн = πrl + πr².
§ 2. Конус
