"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Конус — пространственное тело с круглым основанием и общей вершиной, к которой сходятся отрезки боковой поверхности. Его изучают, чтобы описывать форму предметов и решать задачи о пространственных фигурах, сечениях, площади и объёме. Главные элементы конуса — основание, вершина, высота и образующая. У прямого кругового конуса высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, а сечение через ось является равнобедренным треугольником.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — тело, у которого есть круглое основание и одна общая вершина боковой поверхности. В школьных задачах обычно рассматривают круговой конус: его основание — круг, а боковая поверхность сходится к вершине. Такое представление помогает отличать конус от фигур с многоугольным основанием. Обозначая его элементы, удобно заранее договориться, что именно означают буквы в задаче.
Вершина конуса — точка, в которой сходятся образующие боковой поверхности. Обычно её обозначают буквой S, а центр основания — буквой O. Вершина задаёт положение боковой части относительно основания. Для прямого конуса она находится на перпендикуляре к основанию, проведённом через его центр.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. Её часто обозначают l; образующие вместе образуют боковую поверхность. В прямом круговом конусе длины всех таких отрезков одинаковы. Образующая нужна, например, чтобы находить длину боковой стороны осевого сечения.
Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания; её обозначают h. Перпендикуляр заканчивается в точке основания, а у прямого кругового конуса эта точка совпадает с центром круга. Поэтому высота показывает расстояние между вершиной и плоскостью основания. Не путай высоту с отрезком, который идёт к краю основания и обычно наклонён.
Круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Вращающийся катет остаётся на месте и становится высотой, а второй катет обметает круг и задаёт радиус основания. Гипотенуза при вращении образует боковую поверхность, поэтому её длина равна образующей. Такой способ построения показывает, откуда берутся основные элементы конуса.
Если катет, вокруг которого вращают треугольник, перпендикулярен плоскости основания, его конец при вращении остаётся центром круга. Вершина лежит на продолжении этого катета, поэтому высота проходит через центр основания. Прямая, проходящая через вершину и центр, называется осью прямого кругового конуса. Вращение вокруг неё не меняет форму фигуры, что и объясняет осевую симметрию.
Рассмотрим сечение прямого конуса плоскостью, проходящей через ось. В этом сечении видны высота h, радиус r и образующая l, причём высота перпендикулярна радиусу основания. Получается прямоугольный треугольник, где l — гипотенуза, а h и r — катеты. По теореме Пифагора l² = h² + r²; формула позволяет найти любой из этих элементов, если известны два других.
Осевое сечение — сечение плоскостью, которая проходит через ось конуса. Такая плоскость пересекает круг основания по диаметру, а боковую поверхность — по двум образующим. У прямого кругового конуса эти образующие равны, поэтому получившийся треугольник равнобедренный. Его основание равно 2r, а боковые стороны — l.
Когда плоскость параллельна основанию, она пересекает конус так, что сечение повторяет форму основания: получается круг. Его центр находится на оси, поскольку ось пересекает каждую такую плоскость в центре сечения. Причина в том, что круги, полученные параллельными плоскостями, расположены симметрично относительно оси. Их радиусы тем меньше, чем ближе сечение к вершине.
| Элемент или сечение | Определение | Обозначение или свойство |
|---|---|---|
| Основание | Круг, ограниченный окружностью основания | Радиус r, диаметр 2r |
| Вершина | Общая точка образующих | Часто обозначается S |
| Радиус основания | Отрезок от центра круга до его окружности | Обычно обозначается r |
| Высота и ось | Высота перпендикулярна плоскости основания; ось проходит через вершину и центр | Высота обозначается h |
| Образующая | Отрезок от вершины до точки окружности основания | В прямом конусе все образующие равны, их длина l |
| Осевое сечение | Сечение плоскостью через ось | Равнобедренный треугольник со сторонами l, l и 2r |
| Сечение плоскостью, параллельной основанию | Фигура, полученная пересечением конуса с такой плоскостью | Круг с центром на оси |
Сначала найди в условии известные элементы и обозначь их буквами из таблицы. Затем определи, идёт ли речь о прямом конусе и каком именно сечении: от этого зависят применимые свойства. Например, для прямого конуса можно связать r, h и l теоремой Пифагора, а диаметр основания в осевом сечении всегда равен 2r.
В прямом круговом конусе радиус основания равен 5 см, высота — 12 см. Найдите образующую. Поскольку конус прямой, высота проходит через центр основания и перпендикулярна радиусу. Поэтому высота, радиус и образующая входят в один прямоугольный треугольник.
Ответ: 13 см.
Образующая конуса равна 13 см, радиус основания — 5 см. Найдите высоту и опишите осевое сечение. Сначала найдём высоту из прямоугольного треугольника элементов конуса. Затем используем то, что сечение плоскостью через ось имеет основание-диаметр и две образующие по бокам.
Ответ: высота равна 12 см; осевое сечение — равнобедренный треугольник со сторонами 13 см, 13 см и 10 см.
Высота конуса равна 8 см, радиус основания — 6 см. Плоскость, параллельная основанию, проходит на расстоянии 4 см от вершины. Найдите радиус полученного сечения. Сечение и основание параллельны, поэтому меньший конус над сечением подобен исходному. Значит, радиусы относятся так же, как расстояния от вершины до соответствующих оснований.
Ответ: 3 см.
Называть образующую высотой — ошибка: высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая обычно наклонена к ней. Их могут путать, потому что обе соединяют вершину с основанием. Проверь положение отрезка: заканчивается ли он в центре и образует ли прямой угол с плоскостью? Если нет, это не высота.
Радиус основания не равен диаметру: в осевом сечении основание изображается диаметром длиной 2r. Ошибка возникает, когда видимый отрезок сечения принимают за радиус. Сверься с концами отрезка: диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр, а радиус идёт только от центра до окружности.
Формулу l² = h² + r² нельзя автоматически применять к любому конусу. Она следует из прямоугольного треугольника, который образуют высота, радиус и образующая именно прямого кругового конуса. Для наклонного конуса эти три отрезка не обязательно образуют такой треугольник. Перед вычислениями проверь, что вершина расположена над центром основания.
Неверно считать, что любое сечение конуса является кругом: круг получается, если секущая плоскость параллельна основанию. Путаница появляется из-за того, что и основание, и некоторые сечения имеют круглую форму. Проверь направление плоскости: если она не параллельна основанию, нельзя без дополнительных рассуждений называть сечение кругом.
Для изучения конуса нужны знания об окружности и круге, радиусе и диаметре, а также о перпендикуляре к плоскости. Теорема Пифагора помогает связывать образующую, высоту и радиус в прямом конусе. Навыки работы с пропорциями пригодятся при нахождении размеров параллельных основанию сечений. Позже эти представления используют при изучении площади поверхности и объёма конуса, а также задач на сечения и подобие пространственных фигур.
Чем образующая конуса отличается от его высоты?
Образующая соединяет вершину с точкой окружности основания и лежит на боковой поверхности. Высота соединяет вершину с плоскостью основания под прямым углом. У прямого конуса высота проходит через центр основания, а образующая наклонена к плоскости.
Почему осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником?
Осевое сечение проходит через ось конуса, поэтому пересекает основание по диаметру. Две боковые стороны этого треугольника — образующие, проведённые к концам диаметра. У прямого кругового конуса все образующие равны, значит, сечение равнобедренное.
Всегда ли образующие конуса равны?
Нет. Равными образующие являются у прямого кругового конуса: его вершина расположена над центром основания, и боковая поверхность симметрична относительно оси. У наклонного конуса длины образующих могут различаться.
Как найти высоту конуса, если известны радиус основания и образующая?
Для прямого кругового конуса используй равенство l² = h² + r². Вырази высоту: h = √(l² − r²), где l — образующая, а r — радиус основания. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Какая фигура получается при сечении конуса плоскостью, параллельной основанию?
Сечение представляет собой круг, а его граница — окружность. Центр этого круга лежит на оси конуса. Радиус сечения зависит от расстояния от плоскости до вершины.
118. Конус
