119. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром сферы, а заданное расстояние — её радиусом. Например, если центр обозначен O, а радиус равен r, то каждая точка сферы удалена от O ровно на r. Определение позволяет проверить, лежит ли точка на сфере.

Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до заданной точки не больше заданного радиуса. Заданную точку называют центром, а границей шара служит сфера с теми же центром и радиусом. В отличие от сферы, шар содержит внутренние точки. Это различие помогает понять, какой именно объект задан в условии задачи.

Радиус шара — отрезок, соединяющий его центр с точкой границы; длина этого отрезка равна радиусу шара. Словом «радиус» могут называть и сам отрезок, и его длину, поэтому по условию важно определить, что именно требуется. На чертеже обычно отмечают отрезок от центра до поверхности. В вычислениях используют его числовую длину.

Диаметр шара — хорда, проходящая через центр. Хордой называют отрезок, соединяющий две точки поверхности шара, а диаметр является особой хордой. Его длина равна двум радиусам: d = 2r. Диаметр удобно использовать, когда известен радиус или, наоборот, требуется найти его по диаметру.

Как это устроено

Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг того же диаметра. При вращении каждая точка полуокружности движется по окружности, центр которой лежит на оси вращения. Расстояние от точки до оси в этом движении сохраняет длину радиуса исходной полуокружности. Поэтому след всех точек полуокружности образует поверхность сферы. Полукруг содержит ещё и внутренние точки, так что его вращение заполняет объём шара.

Центр и радиус однозначно определяют сферу. Для любой её точки расстояние до выбранного центра должно быть одним и тем же, равным радиусу. Если выбрать другой центр или изменить радиус, получится уже другая сфера: хотя некоторые точки могут совпасть, вся поверхность не будет той же самой. Поэтому для описания сферы достаточно указать центр и одно число — длину радиуса. Это правило помогает строить сферу и проверять принадлежность точки ей.

Сфера является поверхностью шара, потому что точки границы находятся от центра ровно на расстоянии радиуса. Точка внутри шара расположена ближе к центру, чем граница, поэтому её расстояние меньше радиуса. Так разделяются три случая: расстояние равно радиусу — точка на сфере; меньше — внутри шара; больше — вне шара. Это сравнение можно выполнять даже без чертежа, если известны расстояние до центра и радиус. Оно также объясняет, почему граница входит в шар, хотя у внутренних точек расстояние строго меньше радиуса.

Диаметр — наибольшая хорда шара, поскольку он проходит через центр и соединяет две наиболее удалённые друг от друга точки поверхности. Чтобы увидеть ограничение для любой другой хорды, обозначим её концы A и B, а центр — O. По неравенству треугольника AB ≤ AO + OB, причём AO и OB не больше радиуса r. Значит, AB ≤ 2r, а отрезок, проходящий через центр, имеет длину ровно 2r. Следовательно, ни одна хорда не может быть длиннее диаметра.

Если плоскость проходит через центр сферы, её пересечение со сферой — окружность с тем же центром и радиусом. Действительно, точки этой окружности лежат в плоскости и на сфере, поэтому удалены от центра на r. При пересечении шара эта же плоскость захватывает не только граничную окружность, но и все точки внутри неё; получается круг. Центр сечения совпадает с центром шара, а расстояние от него до края круга равно r. Если плоскость не проходит через центр, её сечение меньше, поскольку она расположена дальше от центра.

Сфера и шар: определения и основные элементы

Сначала определите, о каком объекте или элементе говорится: поверхность, весь объём или отрезок. Затем найдите в третьем столбце нужную связь с центром и радиусом. Таблица особенно полезна, когда в условии задачи требуется перейти от радиуса к диаметру или описать сечение.

Разбор задач

Задача 1. Радиус сферы равен 5 см. Определите длину её диаметра. Здесь не нужно измерять сферу или искать дополнительную величину: диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов. Поэтому достаточно умножить известную длину радиуса на два. Единицу измерения при этом сохраняем.

1. Запишем известное: r = 5 см. Требуется найти диаметр d. По определению диаметр равен двум радиусам.

2. Подставим значение в формулу: d = 2r = 2 · 5 см = 10 см. Умножаем число, а единица измерения остаётся сантиметром.

Ответ: 10 см.

Задача 2. Точка находится на расстоянии 7 см от центра шара радиусом 7 см. Нужно определить, внутри шара находится точка, на поверхности или вне его. Для этого сравним расстояние от точки до центра с радиусом шара. Равенство этих величин означает, что точка лежит на границе, то есть на сфере.

1. Обозначим расстояние до центра через l. По условию l = 7 см, а радиус r = 7 см.

2. Сравним значения: l = r. Значит, точка не внутри шара и не вне его: она находится на сфере, которая является границей шара.

Ответ: точка расположена на поверхности шара.

Задача 3. Плоскость проходит через центр шара радиусом 6 см. Найдите радиус и диаметр полученного сечения. Важно заметить, что условие говорит именно о плоскости через центр. Такое сечение шара — круг, его радиус совпадает с радиусом шара, а диаметр равен двум радиусам. Если бы плоскость не проходила через центр, радиус сечения был бы меньше.

1. Радиус шара равен r = 6 см. Так как плоскость проходит через центр, радиус сечения круга также равен 6 см.

2. Вычислим диаметр круга: d = 2r = 2 · 6 см = 12 см. Получили длину отрезка, проходящего через центр сечения.

Ответ: радиус сечения — 6 см, диаметр — 12 см.

Типичные ошибки

• Считать сферу и шар одним и тем же объектом. Путаница возникает потому, что в быту словом «шар» иногда называют поверхность мяча. Проверьте определение: сфера — только граница, шар включает внутренние точки и эту границу.

• Путать радиус как отрезок и радиус как его длину. Ошибка появляется, когда геометрический объект и числовое значение называют одним словом. На чертеже укажите отрезок, а в формулу подставляйте число с единицей измерения.

• Называть любую хорду диаметром. Хорды действительно соединяют точки поверхности, но не каждая проходит через центр. Проверьте положение центра: если он не лежит на хорде, перед вами не диаметр.

• Считать, что у любого сечения радиус равен радиусу шара. Это свойство относится к сечению плоскостью через центр, а не ко всем плоскостям. Перед вычислениями проверьте условие: если плоскость не проходит через центр, радиус сечения меньше.

Связь с другими темами

Для изучения сферы и шара нужны знакомые понятия окружности и круга: центр, радиус и диаметр. Также важно уметь находить расстояние между точками и сравнивать его с заданной длиной. Эти знания позволяют описывать точки внутри шара, на его границе и вне него. Позже свойства сферы и шара пригодятся при изучении сечений тел плоскостями и геометрических тел вращения. Они также помогают решать задачи о взаимном расположении сферы и плоскости.

Что запомнить

• Сфера состоит из точек, удалённых от центра на расстояние, равное радиусу.

• Шар включает все точки, расстояние от которых до центра не превышает радиус.

• Граница шара — сфера.

• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.

• Сечение сферы плоскостью через центр — окружность радиуса шара.

• Сечение шара плоскостью через центр — круг.