127. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, состоящая из всех точек пространства, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром сферы. Например, у поверхности мяча есть точки, расположенные от его середины на одинаковом расстоянии. Определение сферы помогает узнавать такую поверхность и отличать её от объёмного тела.

Шар — часть пространства, состоящая из всех точек, расстояние от которых до одной точки не больше заданного. В отличие от сферы, шар включает и поверхность, и точки внутри неё. Заданное расстояние называют радиусом шара. Это определение позволяет определить, входит ли конкретная точка в шар.

Центр сферы или шара — точка, от которой отсчитывают расстояния до точек сферы или шара. Обычно центр обозначают буквой O. От него удобно проводить отрезки к поверхности и сравнивать расстояния с радиусом. Для сферы и шара с общей границей центр один и тот же.

Радиус сферы или шара — отрезок, соединяющий центр с точкой сферы; длина этого отрезка равна расстоянию от центра до сферы. Радиус часто обозначают буквой r. Нужно различать сам отрезок и его длину: отрезок изображают на чертеже, а длину указывают числом с единицей измерения. Все радиусы одной сферы равны, потому что каждый соединяет центр с точкой на одинаковом расстоянии от него.

Как это устроено

Сферу можно представить как поверхность мяча: она отделяет внутреннее пространство от внешнего. Все точки поверхности равноудалены от центра, потому что именно так задаётся сфера. Если представить отрезки от центра до разных точек поверхности, их длины совпадут. Поэтому любая точка поверхности подходит под одно и то же условие — расстояние до центра равно радиусу.

Шар включает не только поверхность, но и всё пространство внутри неё. Если расстояние от точки до центра меньше радиуса, точка расположена внутри шара: до границы ей ещё не хватает расстояния, равного разности радиуса и уже пройденного расстояния. Если расстояние равно радиусу, точка находится на поверхности. Поэтому для шара удобно проверять условие «не больше радиуса»: оно охватывает и внутренность, и границу.

На чертеже центр обычно отмечают точкой O, а радиус показывают отрезком от O до точки сферы, например OA. Обозначение радиуса как отрезка помогает видеть, какие точки он соединяет; его длину записывают отдельно, например OA = 4 см. Из определения сферы следует, что любой отрезок от O до её точки имеет ту же длину. Если бы длины отличались, точки не были бы равноудалены от центра и не лежали бы на одной сфере.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через центр. Он состоит из двух радиусов, направленных в разные стороны от центра, поэтому его длина равна двум радиусам: d = 2r. Такой отрезок является наибольшим среди отрезков, соединяющих две точки сферы: проходя через центр, он проходит через самую широкую часть тела. Например, если радиус равен 4 см, диаметр равен 8 см.

Поверхность мяча соответствует сфере, а сам мяч вместе с внутренним содержимым можно сравнить с шаром. Это сравнение показывает, почему названия не взаимозаменяемы: поверхность не включает внутренние точки, а объёмное тело их включает. На практике можно спросить, о чём идёт речь: только о границе или обо всём теле. Ответ подскажет, нужно использовать понятие сферы или шара.

Сфера и шар: сравнение

Сначала определите, спрашивают ли о поверхности или обо всём теле: это отличает сферу от шара. Затем сравните расстояние от точки до центра с радиусом. Формула диаметра одинакова для сферы и шара, потому что оба понятия связаны с одной и той же границей.

Разбор задач

Задача 1

Радиус шара равен 4 см. Найдите его диаметр. Чтобы найти диаметр, не нужно измерять шар или строить чертёж: достаточно знать связь диаметра с радиусом. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов. Поэтому сначала запишем формулу, затем подставим известную длину.

1. Обозначим радиус через r, а диаметр через d. По свойству диаметра d = 2r. Здесь r = 4 см.
2. Подставим значение радиуса: d = 2 · 4 см. Умножаем длину радиуса на два, так как диаметр включает две равные части от центра до поверхности.
3. Получаем d = 8 см. Проверка: половина диаметра равна 4 см, то есть исходному радиусу.

Ответ: диаметр шара равен 8 см.

Задача 2

Расстояние от центра сферы до точки A равно радиусу, а до точки B меньше радиуса. Определите, где расположена каждая точка относительно сферы и шара. Здесь нужно различить положение на поверхности и внутри тела. Сравнение с радиусом сразу даёт ответ: для поверхности расстояние должно быть ровно таким же, как радиус. Для внутренней точки оно меньше радиуса.

1. Для точки A расстояние до центра равно радиусу. Значит, A лежит на сфере, потому что именно так расположены все точки её поверхности.
2. Так как сфера является границей шара, точка A также принадлежит шару. Она находится на его поверхности, а не внутри.
3. Для точки B расстояние меньше радиуса. Следовательно, B расположена внутри шара, но не на сфере: до границы она ещё не дошла.

Ответ: A лежит на сфере и на границе шара; B находится внутри шара и не лежит на сфере.

Задача 3

Радиус шара равен 5 см. Точка C находится на расстоянии 6 см от центра, а точка D — на расстоянии 3 см. Определите, какие точки лежат внутри шара, на сфере или вне шара. Сравним расстояние каждой точки от центра с радиусом 5 см. Равенство означает положение на сфере, меньшее расстояние — внутри шара, большее — снаружи.

1. Для точки C имеем 6 см > 5 см. Она дальше от центра, чем любая точка сферы, поэтому C находится вне шара.
2. Для точки D имеем 3 см < 5 см. Значит, D находится внутри шара; на сфере она не лежит, потому что расстояние до центра не равно радиусу.
3. Проверим, есть ли точка на сфере: ни одно из данных расстояний не равно 5 см. Следовательно, среди точек C и D точки на сфере нет.

Ответ: C находится вне шара, D — внутри шара; ни одна из этих точек не лежит на сфере.

Типичные ошибки

Ошибка — считать сферу и шар одним и тем же. Так можно ошибиться, потому что в быту часто говорят о мяче, не уточняя, имеют ли в виду его поверхность или всё тело. Проверьте себя вопросом: входят ли в рассматриваемый объект точки внутри поверхности? Если да, речь идёт о шаре, а если только о границе — о сфере.

Некоторые считают, что каждая точка шара находится ровно на расстоянии радиуса от центра. Это условие верно только для точек сферы, то есть границы шара. Внутренние точки находятся ближе к центру. Чтобы проверить ответ, сравните расстояние с радиусом: у точки внутри шара оно меньше.

Иногда радиусом называют только число, забывая, что радиус — это отрезок от центра до точки сферы. Путаница возникает потому, что в задачах часто спрашивают длину радиуса и записывают её в сантиметрах. Проверьте себя: если речь идёт о геометрическом объекте, укажите отрезок; если о числовом значении — его длину и единицу измерения.

Ошибка — находить диаметр как половину радиуса. Её допускают, когда перепутывают, какую величину нужно удвоить, а какую разделить на два. Диаметр складывается из двух радиусов, поэтому d = 2r, а не r : 2. Для проверки разделите найденный диаметр на два: должен получиться исходный радиус.

Связь с другими темами

Для работы со сферой и шаром нужно уметь сравнивать длины отрезков и понимать расстояние между точками. Сначала находят расстояние от центра до точки, затем сопоставляют его с радиусом. Такой приём позволяет определить положение точки без сложных вычислений.

Радиус и диаметр встречаются и при изучении окружности и круга на плоскости. Окружность, как и сфера, является границей, а круг включает окружность и точки внутри неё. Сравнение помогает перенести знакомое различие между поверхностью и внутренней областью в пространство.

Понятия сферы и шара нужны, чтобы описывать тела в пространстве и решать задачи на расстояния. Например, можно выяснить, находится ли точка внутри некоторого объёмного тела, на его границе или за её пределами. Связь диаметра с радиусом позволяет находить одну величину по другой.

Что запомнить

• Сфера состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Шар включает сферу и все точки внутри неё.
• Радиус соединяет центр с точкой сферы.
• Все радиусы одной сферы равны.
• Диаметр проходит через центр и соединяет две точки сферы.
• Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса: d = 2r.