§ 15. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Фиксированную точку называют центром сферы и обычно обозначают O, а одинаковое расстояние от неё до всех точек сферы — радиусом r. Поэтому для любой точки X на сфере выполняется равенство OX = r. Центр и постоянное расстояние задают сферу однозначно.

Центр сферы — фиксированная точка, от которой измеряют расстояния до всех точек сферы. Он не лежит на самой сфере: каждая её точка находится от него на расстоянии r. Центр нужен, чтобы описывать положение сферы и проверять, принадлежит ли ей заданная точка. Если центр изменится, изменится и сама сфера.

Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы; его обозначают r или R. Все такие отрезки имеют одинаковую длину, хотя направлены в разные стороны. Диаметр d проходит через центр, поэтому состоит из двух радиусов и равен 2r. По радиусу можно определить диаметр, а по диаметру — радиус.

Шар — множество точек пространства, расстояние от которых до центра не превосходит радиуса. Его можно представить как сферу вместе со всеми точками внутри неё: для точки X шара OX ≤ r. Сфера включает только точки с расстоянием, равным r, поэтому она образует границу шара. Это различие важно при проверке, входит ли точка в фигуру.

Как это устроено

Сферу удобно понимать как пространственный аналог окружности. Окружность на плоскости состоит из точек, равноудалённых от центра, а сфера задаётся тем же условием, но уже в пространстве. Вокруг центра можно откладывать одинаковое расстояние в любом пространственном направлении, и все полученные точки образуют сферу. Так определение показывает не только форму, но и способ построить её по центру и радиусу.

У сферы и шара разные условия на расстояние до центра: равенство OX = r для сферы и неравенство OX ≤ r для шара. Равенство оставляет только внешнюю поверхность, а неравенство включает также внутреннюю область. Поэтому сфера служит границей шара, подобно тому как оболочка ограничивает заполненное тело. В задачах нужно сначала выяснить, спрашивают ли о поверхности или обо всём объёме.

Диаметр сферы — отрезок с концами на сфере, проходящий через её центр. Центр делит его на два равных отрезка, каждый из которых является радиусом, поэтому d = 2r. Если отрезок между двумя точками сферы не проходит через центр, он короче диаметра. Таким образом, диаметр — наибольшая хорда сферы.

Когда плоскость проходит через центр сферы, точки сечения находятся от центра на расстоянии r и лежат в этой плоскости. Внутри неё они образуют окружность радиуса r, называемую большой окружностью. Сечение шара той же плоскостью содержит и внутренние точки круга. Именно прохождение плоскости через центр делает сечение наибольшим.

Если секущая плоскость не проходит через центр, опустим из центра перпендикуляр к ней и обозначим расстояние до плоскости через h. Радиус сечения ρ, этот перпендикуляр и радиус сферы R образуют прямоугольный треугольник: R — гипотенуза, а h и ρ — катеты. По теореме Пифагора ρ² + h² = R², следовательно, ρ = √(R² − h²). При h > 0 радиус сечения меньше R; чем дальше плоскость от центра, тем меньше окружность.

Сфера и шар: сравнение

Пользуйся таблицей, чтобы отличать поверхность от объёмного тела: ориентируйся на условие расстояния до центра. В строках о сечениях сравнивай окружность сферы с кругом шара. Если плоскость не проходит через центр, радиус сечения находят по теореме Пифагора.

Разбор задач

Задача 1. Даны центр сферы O и радиус 5 см. Определить, лежат ли точки A, B и C на сфере, если OA = 5 см, OB = 4 см, OC = 6 см. Для принадлежности сфере нужно точное равенство расстояния радиусу. Поэтому проверим каждое расстояние отдельно, не заменяя условие принадлежностью шару.

1. Для A: OA = 5 см, что равно радиусу 5 см; точка A лежит на сфере.
2. Для B: OB = 4 см, что меньше радиуса; точка B не лежит на сфере.
3. Для C: OC = 6 см, что больше радиуса; точка C тоже не лежит на сфере.

Ответ: на сфере лежит только точка A. Точки B и C ей не принадлежат.

Задача 2. Радиус сферы равен 13 см, расстояние от её центра до секущей плоскости — 5 см. Найти радиус окружности сечения. Перпендикуляр от центра к плоскости и радиус сечения взаимно перпендикулярны. Вместе с радиусом сферы они образуют прямоугольный треугольник, где радиус сферы — гипотенуза.

1. Обозначим радиус сечения через ρ; по теореме Пифагора ρ² + 5² = 13².
2. Вычислим: ρ² = 169 − 25 = 144.
3. Так как длина положительна, ρ = √144 = 12 см.

Ответ: радиус окружности сечения равен 12 см. Он меньше радиуса сферы, потому что плоскость не проходит через центр.

Задача 3. Шар радиуса 10 см пересечён плоскостью на расстоянии 6 см от центра. Найти площадь круга сечения. Сначала нужно найти радиус круга: он не равен радиусу шара, поскольку секущая плоскость удалена от центра. Затем используем формулу площади круга S = πρ².

1. По теореме Пифагора ρ² + 6² = 10², поэтому ρ² = 100 − 36 = 64.
2. Следовательно, радиус круга сечения ρ = 8 см.
3. Подставим радиус в формулу площади: S = π · 8² = 64π см².

Ответ: площадь круга сечения равна 64π см², или примерно 201 см². Сначала нашли радиус сечения, а не подставляли радиус шара напрямую.

Типичные ошибки

Сферу иногда называют шаром и наоборот, потому что в быту слова употребляют похоже. В геометрии сфера — только внешняя поверхность, а шар включает внутренние точки. Проверь себя, выписав условие: у сферы OX = r, у шара OX ≤ r. Если в ответе не различены поверхность и тело, формулировку нужно уточнить.

Точку считают принадлежащей сфере, когда расстояние до центра меньше радиуса. Такое условие означает, что точка находится внутри шара, но не на его границе. Для проверки сравни расстояние именно с радиусом: только равенство подтверждает принадлежность сфере. Неравенство со знаком «меньше» подходит для шара, но не для сферы.

Радиус сечения принимают равным радиусу сферы, хотя это верно только для плоскости через центр. Ошибка возникает, если забыть, что удалённая от центра плоскость отсекает меньшую окружность. Перед вычислением отметь расстояние от центра до плоскости: если оно ненулевое, радиус сечения меньше радиуса сферы. Проверить результат можно по формуле ρ² = R² − h².

В задаче о сечении иногда не проводят перпендикуляр от центра к плоскости. Тогда неясно, почему возникающий треугольник прямоугольный и можно применять теорему Пифагора. Опусти перпендикуляр и обозначь его длину h: радиус сечения лежит в плоскости и перпендикулярен ему. Самопроверка — убедиться, что гипотенузой треугольника является радиус сферы.

Связь с другими темами

Для изучения сферы и шара полезны определения окружности и круга, а также понятия радиуса и диаметра. Окружность и круг служат плоскими аналогами сферической поверхности и объёмного шара. Теорема Пифагора позволяет связать радиус сферы, расстояние от центра до секущей плоскости и радиус сечения. Без этих знаний трудно обосновать вычисления в задачах.

Сфера и шар понадобятся при изучении тел вращения и пространственных сечений. Радиус и сечения помогают описывать форму тела, а затем переходить к вычислению его объёма и площади поверхности. Понимание разницы между оболочкой и заполненным телом помогает выбирать нужную геометрическую модель. Эти понятия применимы и к реальным объектам — например, к мячу или планете.

Что запомнить

• Точки сферы находятся от центра на расстоянии, равном радиусу.
• Точки шара находятся от центра на расстоянии, не превосходящем радиус.
• Сфера — граница шара.
• Диаметр сферы равен удвоенному радиусу: d = 2r.
• Сечение сферы плоскостью — окружность.
• Сечение шара плоскостью — круг.
• Наибольшее сечение сферы получается плоскостью через центр.