З Задачи к главе III

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Они могут пересекаться или быть скрещивающимися, то есть не лежать в одной плоскости и не пересекаться. В случае скрещивающихся прямых угол определяют, заменяя одну из них параллельной прямой, пересекающей другую. Это определение позволяет сравнивать направления прямых, даже если на чертеже они не встречаются.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Эта точка называется основанием перпендикуляра. Свойство используют, чтобы переносить перпендикулярность на разные прямые одной плоскости через основание.

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Ортогональная проекция получается, если опустить перпендикуляры от точек прямой к плоскости. Такое определение помогает однозначно найти угол наклона прямой к плоскости.

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой, называемой ребром. Его линейный угол — угол между лучами, лежащими в гранях и перпендикулярными ребру в одной точке. Величиной двугранного угла считают величину его линейного угла, поэтому пространственный объект можно измерить на плоском сечении.

Как это устроено

Чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, не нужно проверять её угол с бесконечным множеством прямых этой плоскости. Достаточно найти две пересекающиеся прямые плоскости и доказать, что данная прямая перпендикулярна обеим. Именно пересечение существенно: оно задаёт два независимых направления в плоскости, а не только одно. По признаку перпендикулярности из этого следует перпендикулярность всей плоскости.

Пусть из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, а конец наклонной лежит в плоскости. Соедини основание перпендикуляра с концом наклонной: этот отрезок и есть проекция наклонной. Перпендикуляр направлен под прямым углом к любому отрезку плоскости через своё основание, в том числе к проекции. Поэтому перпендикуляр, проекция и наклонная образуют прямоугольный треугольник, где наклонная — гипотенуза; его стороны позволяют вычислять длины и углы.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, поэтому угол непосредственно между ними не образован. Через точку одной прямой проводят другую прямую, параллельную второй исходной прямой. Угол между построенной прямой и первой исходной и принимают за угол между скрещивающимися прямыми. Такой приём работает потому, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а угол между пересекающимися прямыми можно измерить обычным способом.

Для нахождения двугранного угла выбирают плоскость, перпендикулярную его ребру. Она пересекает грани по двум прямым, причём обе прямые перпендикулярны ребру в точке пересечения. Поэтому образованный ими угол является линейным. Так пространственный вопрос сводится к измерению плоского угла, а величина двугранного угла совпадает с его величиной.

В задачах главы эти идеи часто работают вместе. Сначала признаком устанавливают, что прямая перпендикулярна плоскости, а затем используют теорему о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. После обоснования нужных углов строят прямоугольный треугольник и применяют теорему Пифагора или отношения сторон и углов. Такой порядок отделяет геометрическое доказательство от вычислений.

Перпендикулярность в пространстве: определения и способы решения

Таблица помогает выбрать способ решения по объекту, с которым связана задача. Сначала определи, что именно требуется установить, а затем используй соответствующий приём из последнего столбца. Если прямые скрещиваются или речь идёт о двугранном угле, ищи вспомогательное построение, которое сведёт задачу к плоскости.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить, перпендикулярны ли прямые AB и CC₁, и обосновать ответ.

1. Рёбра AA₁ и CC₁ параллельны, поскольку это вертикальные рёбра куба.
2. Заменим CC₁ прямой AA₁, проходящей через A. Угол между AB и AA₁ прямой, так как это соседние рёбра квадратной грани ABB₁A₁.
3. По определению угла между скрещивающимися прямыми получаем: угол между AB и CC₁ тоже равен 90°.

Ответ: AB и CC₁ перпендикулярны, хотя они не пересекаются.

Задача 2. В треугольнике ABC высота AH перпендикулярна плоскости β, содержащей BC. Доказать, что BC ⟂ AH.

1. Высота AH пересекает BC в точке H, поэтому H принадлежит плоскости β.
2. По условию AH ⟂ β. По определению прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра H.
3. Прямая BC лежит в β и проходит через H. Следовательно, AH перпендикулярна BC.

Ответ: BC ⟂ AH.

Задача 3. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длины 6 и наклонная длины 10. Найти угол между наклонной и плоскостью.

1. Обозначим через α искомый угол. Проекция наклонной вместе с ней и перпендикуляром образует прямоугольный треугольник.
2. Наклонная длины 10 — гипотенуза, а перпендикуляр длины 6 лежит напротив угла α. Поэтому sin α = 6/10 = 3/5.
3. Отсюда α = arcsin(3/5) ≈ 36,9°. Проекция не является самим перпендикуляром: угол α расположен между наклонной и проекцией.

Ответ: угол между наклонной и плоскостью приблизительно равен 36,9°.

Типичные ошибки

• Считать, что прямые перпендикулярны только при пересечении на исходном чертеже. Такую ошибку провоцирует привычное плоское изображение, но скрещивающиеся прямые тоже могут иметь угол 90°. Проверь себя: проведи через точку одной прямой параллельную другой и найди угол у пересекающихся прямых.

• Объявлять прямую перпендикулярной плоскости после проверки одной прямой в ней. Один прямой угол не задаёт все направления плоскости, поэтому признак требует двух пересекающихся прямых. Убедись, что обе лежат в плоскости, пересекаются и перпендикулярны данной прямой.

• Путать угол наклонной с плоскостью и угол наклонной с перпендикуляром к ней. Первый измеряется от проекции, а не от нормали к плоскости; ошибка возникает, когда не построен прямоугольный треугольник. Отметь проекцию и проверь: угол с перпендикуляром дополняет искомый до 90°.

• Называть линейным углом двугранного угла любой угол, который виден на рисунке. Случайный угол не обязательно отражает величину между гранями, потому что его стороны могут быть направлены не перпендикулярно ребру. Для проверки построй сечение, перпендикулярное ребру, и измеряй угол между линиями пересечения с гранями.

Связь с другими темами

Для этих задач нужны знания о параллельности прямых и плоскостей: именно параллельность помогает заменить скрещивающиеся прямые пересекающимися. Также пригодятся представления об углах между прямыми и свойства прямоугольного треугольника, включая теорему Пифагора и тригонометрические отношения. Далее эти приёмы используются при изучении расстояний и углов в пространстве. Они помогают решать задачи о многогранниках, где важно увидеть подходящее сечение или проекцию.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
• Для признака перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить её перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
• Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через пересекающиеся параллельные им прямые.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• В пространственной задаче полезно сначала построить вспомогательное сечение.