З Задачи к главе III

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Запись a ∥ b означает, что прямая a параллельна прямой b. Это понятие нужно, чтобы описывать особое расположение прямых и применять связанные с ним правила для углов.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она образует с ними углы, которые можно сравнивать между собой. По этим углам часто удаётся установить, параллельны ли пересечённые прямые.

Накрест лежащие углы — пары углов, расположенных между двумя прямыми по разные стороны секущей. Слово «накрест» помогает вспомнить их положение: внутри пары прямых, но на противоположных сторонах секущей. Такое расположение важно при проверке признака параллельности.

Соответственные углы — пары углов, занимающих одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут быть расположены сверху от своей прямой и справа от секущей. Их удобно находить, сопоставляя одинаковые места у двух точек пересечения.

Как это устроено

В каждой точке пересечения секущей с прямой образуются четыре угла. Некоторые из них лежат между двумя прямыми, другие — снаружи; при этом каждый угол находится с одной из сторон секущей. Сравнивая углы у двух точек пересечения, выделяют накрест лежащие, соответственные и односторонние пары. Сначала определяют их положение, а уже потом сравнивают величины.

Если накрест лежащие углы равны, две пересечённые прямые параллельны. Причина в том, что при непараллельных прямых направление одной из них меняется относительно другой, и соответствующие накрест лежащие углы не совпадают. Равенство показывает, что такого изменения нет, поэтому прямые не пересекутся. Это рассуждение используют как признак параллельности.

Похожий признак действует для соответственных углов: если они равны, прямые параллельны. Связь с предыдущим признаком можно увидеть с помощью вертикальных углов: один из соответственных углов равен вертикальному углу, который вместе с другим образует накрест лежащую пару. Поэтому равенство соответственных углов приводит к равенству накрест лежащих, а оно доказывает параллельность.

Если же параллельность уже известна, можно получить равенство накрест лежащих и соответственных углов. Кроме того, односторонние углы в сумме дают 180°: один из них равен углу, смежному со вторым, а смежные углы составляют 180°. Так различают направление рассуждения: свойства помогают находить углы при известных параллельных прямых, а обратные утверждения помогают доказать параллельность.

В задаче нужно двигаться от отмеченных на чертеже данных к требуемому выводу. Подпиши известные углы и определи, как расположены нужные пары относительно прямых и секущей. Затем выбери подходящее равенство или сумму 180° и укажи, какое свойство либо признак применяешь. Если появились новые равные углы, используй их вместе со свойствами смежных и вертикальных углов.

Углы при пересечении двух прямых секущей

В первом столбце выбери пару по её расположению на чертеже, а затем проверь нужное отношение величин. Средний столбец используют, чтобы найти углы, когда параллельность задана. Правый столбец помогает доказать параллельность, если известно равенство углов или их сумма.

Разбор задач

Задача 1

При пересечении двух параллельных прямых секущей один из накрест лежащих углов равен 68°. Найдите второй. Здесь важно сначала определить, какое свойство относится именно к названной паре, а не пытаться складывать углы наугад.

1. Прямые параллельны, поэтому применимо свойство углов при параллельных прямых.
2. Данные углы накрест лежащие, а такие углы равны. Значит, второй угол имеет ту же величину, что и первый.
3. Записываем значение: 68°. Дополнительное вычитание из 180° здесь не требуется, потому что углы не смежные.

Ответ: 68°.

Задача 2

Два соответственных угла равны 113°. Определите, параллельны ли прямые, и обоснуйте ответ. Необходимо выяснить не только величины углов, но и то, что они действительно соответствующие и образованы одной секущей.

1. По условию соответственные углы равны: каждый из них равен 113°.
2. Равенство соответственных углов является признаком параллельности прямых. Значит, можно применить обратное утверждение, а не свойство для уже параллельных прямых.
3. Делаем вывод: пересечённые секущей прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 3

Две параллельные прямые пересечены секущей, один из образовавшихся углов равен 42°. Найдите остальные углы. Сначала полезно получить равные данному углы, а затем найти смежные с ними: так не приходится определять все углы независимо.

1. У данного угла есть вертикальный угол, равный ему, поэтому получаем ещё один угол 42°. Также равны ему углы, соответственные и накрест лежащие с ним: параллельность прямых гарантирует эти равенства.
2. Каждый угол, смежный с углом 42°, равен 180° − 42° = 138°, так как смежные углы в сумме составляют 180°.
3. Вертикальные, соответственные и накрест лежащие углы дают все углы той же величины; смежные с ними дают остальные. Всего образуется четыре угла по 42° и четыре по 138°.

Ответ: три остальных угла равны 42°, четыре угла равны 138°.

Типичные ошибки

Не называй углы накрест лежащими только потому, что они равны. Равенство само по себе не описывает расположение углов, и его могли получить по другой причине. Проверь, что углы лежат между прямыми по разные стороны одной секущей.

Не путай признак параллельности со свойством параллельных прямых. Ошибка возникает, когда забывают, что в первом случае параллельность нужно доказать, а во втором она уже дана. Перед выводом спроси себя, что известно: расположение прямых или отношение углов.

Нельзя доказывать параллельность по равенству любых двух углов. Равными могут быть, например, вертикальные углы при пересечении одной прямой, но это ничего не говорит о другой прямой. Проверь, что пара углов образована двумя прямыми и секущей и является соответственной или накрест лежащей.

Односторонние углы не обязаны быть равными: при параллельных прямых их сумма равна 180°. Их часто путают с накрест лежащими, потому что обе пары располагаются между прямыми. Сверь стороны секущей: односторонние находятся по одну сторону, а накрест лежащие — по разные.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся виды углов, а также свойства смежных и вертикальных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны; эти факты помогают выводить отношения углов при секущей. Нужно также понимать геометрические обозначения, например a ∥ b для параллельных прямых.

Признаки параллельности полезны не только в задачах о двух прямых. Они помогают обосновывать рассуждения об углах треугольника и находить неизвестные углы в более сложных чертежах. Умение выбирать подходящую пару углов становится основой такого решения.

Что запомнить

• Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
• Соответственные углы при параллельных прямых равны.
• Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.
• Равенство соответственных углов — признак параллельности прямых.
• Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности прямых.
• Сумма односторонних углов 180° — признак параллельности прямых.