8.2. Следствия из теоремы о сумме углов треугольника —

Определения и обозначения

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из его внутренних углов. Он получается, если одну сторону треугольника продолжить за вершину. Это понятие нужно, чтобы связать угол снаружи треугольника с двумя углами внутри него.

Несмежные с внешним углом внутренние углы — два внутренних угла треугольника, расположенные при других вершинах. Они не имеют общей стороны с данным внешним углом. Именно их сумму удобно находить по внешнему углу.

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. Такой угол называют прямым, а две стороны, образующие его, — перпендикулярными. Это определение позволяет отдельно изучать свойства двух оставшихся углов.

Острые углы прямоугольного треугольника — два его внутренних угла, каждый из которых меньше 90°. Они остаются после прямого угла и обязательно вместе составляют 90°. Поэтому, зная один острый угол, можно сразу найти другой.

Как это устроено

Внешний угол и смежный с ним внутренний имеют одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одной прямой. Поэтому они образуют развёрнутый угол, величина которого равна 180°. Если внутренний угол равен α, а внешний — β, то α + β = 180°.

Сумма трёх внутренних углов треугольника также равна 180°. Обозначим два угла, не смежных с внешним, через γ и δ. Тогда α + γ + δ = 180°, а из первого равенства α + β = 180°, значит, β = γ + δ.

Полученное равенство объясняет, почему внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних. Ведь γ и δ — положительные величины, а их сумма больше каждой отдельной величины. Нельзя переносить это утверждение на смежный внутренний угол: вместе с ним внешний угол даёт 180°, и один из них может быть больше другого.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Два других угла в сумме с ним должны дать 180°, поэтому их сумма равна 180° − 90° = 90°. Каждый из них меньше 90°, иначе сумма углов превысила бы допустимое значение.

Из теоремы следует и ограничение на виды углов треугольника. Два прямых угла уже дают 180°, поэтому третий угол не мог бы быть положительным. Два тупых угла дают больше 180°, значит, в треугольнике может быть не более одного прямого или тупого угла.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

В таблице собраны основные равенства и способы их использования. Сначала определите, о каком типе углов говорится в условии. Затем выберите соответствующую строку и составьте равенство.

В задачах на внешний угол не прибавляйте к нему смежный внутренний угол: их сумма известна, но искомая связь проходит через два несмежных угла. Если треугольник прямоугольный, сначала выделите угол 90°, а затем работайте с оставшимися углами.

Разбор задач

Задача 1. Внешний угол треугольника равен 125°, один из несмежных с ним внутренних углов равен 55°. Найдём второй несмежный угол. Здесь нужно применить равенство внешнего угла сумме двух несмежных внутренних.

1. Обозначим второй угол через x.
2. Составим равенство: 55° + x = 125°.
3. Вычтем 55°: x = 125° − 55° = 70°.

Ответ: второй несмежный внутренний угол равен 70°. Проверка показывает, что 55° + 70° = 125°, поэтому найденное значение подходит.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Требуется найти второй острый угол. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

1. Обозначим неизвестный угол через x.
2. Составим равенство: 37° + x = 90°.
3. Получаем x = 90° − 37° = 53°.

Ответ: второй острый угол равен 53°. Вместе с прямым углом три угла дают 37° + 53° + 90° = 180°.

Задача 3. Внешний угол равен 118°, а несмежные внутренние углы относятся как 3:4. Найдём все внутренние углы треугольника. Отношение подсказывает обозначить эти углы как 3x и 4x.

1. По свойству внешнего угла 3x + 4x = 118°, значит, 7x = 118° и x = 118°/7°.
2. Несмежные углы равны 3x = 354°/7° = 50 4/7° и 4x = 472°/7° = 67 3/7°.
3. Смежный с внешним внутренний угол равен 180° − 118° = 62°.

Ответ: внутренние углы равны 62°, 50 4/7° и 67 3/7°. Их сумма составляет 180°, что подтверждает решение.

Типичные ошибки

Считать, что внешний угол равен смежному внутреннему. Их не приравнивают: они образуют развёрнутый угол и в сумме дают 180°. Проверьте себя, записав α + β = 180°.

Складывать внешний угол со смежным внутренним вместо двух несмежных. Так путают два разных свойства: первое даёт сумму 180°, второе — равенство внешнего угла сумме двух других внутренних. Назовите три внутренних угла и отметьте, какие два находятся при других вершинах.

Утверждать, что внешний угол больше любого внутреннего. Он больше только каждого из двух несмежных углов, а сравнение со смежным требует отдельного анализа. Проверьте, не включили ли вы в утверждение угол, который образует с внешним развёрнутый угол.

Находить второй острый угол вычитанием из 180°. Сначала из 180° нужно вычесть прямой угол, поэтому для двух острых остаётся 90°. Быстрая проверка: два найденных острых угла должны в сумме дать именно 90°.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать теорему о сумме углов треугольника и свойство смежных углов. Эти правила превращаются в удобные следствия и помогают находить неизвестные углы без дополнительных построений.

Результаты пригодятся при решении задач на углы и доказательстве геометрических утверждений. Позже они станут опорой для изучения других свойств треугольников.

Что запомнить

• Внешний угол смежен с одним внутренним углом треугольника.
• Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов.
• Внешний угол больше каждого из двух несмежных внутренних углов.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• В треугольнике может быть не более одного прямого или тупого угла.