"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Внутренние углы любого треугольника вместе составляют 180°. Это правило помогает находить неизвестный угол, если известны два других, и решать задачи о прямоугольных треугольниках. Теорему доказывают, проводя через вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне: свойства углов при параллельных прямых превращают три угла в развёрнутый угол. Зная это доказательство, легче понять, откуда берутся вычисления, а не просто запомнить формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма углов треугольника — величина, получаемая при сложении трёх его внутренних углов. Для треугольника ABC её записывают так: ∠A + ∠B + ∠C. Эта запись нужна, чтобы коротко описывать связь между углами и выполнять вычисления.
Теорема о сумме углов треугольника — утверждение, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Для треугольника ABC это означает: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема позволяет находить угол, который нельзя измерить напрямую, если известны два других.
Следствие из теоремы — утверждение, которое получают из теоремы с помощью простого рассуждения. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°, потому что третий угол уже равен 90°. Это правило помогает решать задачи, где дан один острый угол прямоугольного треугольника.
Пусть дан треугольник ABC. Теорема утверждает, что ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Речь идёт именно о внутренних углах, расположенных внутри треугольника. Равенство справедливо при любой форме треугольника: остроугольной, прямоугольной или тупоугольной.
Чтобы доказать теорему, проведём через вершину C прямую, параллельную противоположной стороне AB. Получится прямая, которая проходит через вершину, а стороны AC и BC пересекают её. Параллельность выбрана не случайно: когда секущая пересекает параллельные прямые, возникают равные накрест лежащие углы.
Сторона AC играет роль секущей для проведённой прямой и стороны AB. Поэтому угол между AC и проведённой прямой с одной стороны от C равен углу A. Аналогично, угол между прямой и BC равен углу B. Так два угла треугольника можно представить около вершины C, не меняя их величин.
Теперь рассмотрим углы, лежащие по одну сторону от проведённой прямой и имеющие общую вершину C. Это угол, равный ∠A, сам угол ∠C и угол, равный ∠B. Вместе они составляют развёрнутый угол: его стороны лежат на одной прямой, поэтому его градусная мера равна 180°. Значит, ∠A + ∠C + ∠B = 180°, что и требовалось доказать.
В прямоугольном треугольнике один из трёх углов равен 90°. По теореме сумма всех углов — 180°, поэтому на два оставшихся приходится 180° − 90° = 90°. Эти углы острые, и их сумма всегда равна 90°, хотя каждый из них не обязательно равен 45°.
Если в треугольнике известны два угла, обозначим их α и β, а неизвестный — γ. Из равенства α + β + γ = 180° выразим γ: γ = 180° − α − β. Иначе говоря, сначала складываем известные величины, затем вычитаем их сумму из 180°. Например, при углах 48° и 67° третий угол равен 180° − (48° + 67°) = 65°.
| Ситуация | Известные углы | Что следует |
|---|---|---|
| Любой треугольник | Сумма трёх внутренних углов | ∠A + ∠B + ∠C = 180° |
| Прямоугольный треугольник | Один угол равен 90° | Сумма двух острых углов равна 90° |
| Найдите третий угол | Два угла известны: α и β | Третий угол равен 180° − α − β |
Сначала выбери в таблице ситуацию, которая совпадает с условием задачи. Затем используй соответствующее равенство: для прямоугольного треугольника учитывай уже известный угол 90°, а для поиска третьего угла вычитай из 180° сумму двух данных. Убедись, что подставляешь именно внутренние углы.
Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Нужно использовать сумму внутренних углов: третий угол дополняет два известных до 180°. Поэтому не следует вычитать из 180° только один из данных углов.
Ответ: 65°.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Найдите второй острый угол. Прямой угол равен 90°, поэтому для двух острых углов остаётся ещё 90°. Теперь найдём, какая часть этой суммы приходится на неизвестный угол.
Ответ: 53°.
Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите каждый угол. Отношение означает, что углы можно представить как 2 равные части, 3 такие же части и 4 такие же части. Обозначим величину одной части через x и используем сумму углов треугольника.
Ответ: 40°, 60° и 80°.
Иногда сумму углов треугольника принимают за 360°, путая её с суммой углов вокруг точки. Такая путаница возникает, потому что в обоих случаях речь идёт о нескольких углах с общей вершиной. Проверка простая: для треугольника используй теорему о трёх внутренних углах, а 360° относится к полному обороту вокруг точки.
Ещё одна ошибка — подставить внешний угол вместо внутреннего. Внешний угол находится снаружи треугольника и не входит в сумму ∠A + ∠B + ∠C. Перед вычислением проверь, что все выбранные углы расположены внутри фигуры и соответствуют её трём вершинам.
При поиске третьего угла иногда из 180° вычитают только один известный угол. Так теряется величина второго известного угла, поэтому сумма результатов не даст 180°. Сначала сложи оба известных угла в скобках, а затем вычти их сумму: γ = 180° − (α + β).
В прямоугольном треугольнике могут ошибочно считать оба острых угла равными 45°. Это верно лишь тогда, когда они равны между собой, например в равнобедренном прямоугольном треугольнике. В любом прямоугольном треугольнике их сумма равна 90°, но отдельные значения могут различаться; проверь это, сложив найденные углы.
Для доказательства нужны понятия прямого и развёрнутого угла, а также свойства углов при параллельных прямых и секущей. Развёрнутый угол составляет 180°, а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны — именно эти факты связывают углы треугольника в доказательстве. Теорема пригодится при решении задач на треугольники и при изучении внешнего угла треугольника.
Почему сумма углов треугольника всегда равна 180°?
Через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Углы при этой прямой равны двум углам треугольника, потому что это накрест лежащие углы, а вместе с третьим они образуют развёрнутый угол в 180°.
Как провести прямую в доказательстве теоремы?
Выбери любую вершину треугольника и проведи через неё прямую, параллельную стороне напротив этой вершины. Например, через вершину C треугольника ABC проведи прямую, параллельную AB.
Как найти третий угол, если известны два других?
Сложи величины двух известных углов и вычти полученную сумму из 180°. Например, если углы равны 48° и 67°, то третий равен 180° − 48° − 67° = 65°.
Почему острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°?
Один угол прямоугольного треугольника равен 90°, а сумма всех трёх углов равна 180°. Значит, на два других угла вместе остаётся 180° − 90° = 90°.
Может ли в треугольнике быть два прямых или два тупых угла?
Нет, потому что два прямых угла уже дали бы сумму 180°, и для третьего угла не осталось бы места. Два тупых угла в сумме больше 180°, что также невозможно.
8.1. Теорема о сумме углов треугольника
