"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Координатный метод позволяет описывать положение точки числами, а геометрические фигуры — уравнениями. На плоскости каждой точке соответствуют абсцисса и ордината, а каждой прямой или окружности можно сопоставить условие для координат. Это помогает строить фигуры, проверять, лежит ли точка на графике, и находить пересечения фигур с помощью вычислений. Главные инструменты здесь — знаки координат, подстановка в уравнение и теорема Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными осями координат и выбранным единичным отрезком. Горизонтальную ось обычно обозначают x, вертикальную — y, а их пересечение называют началом координат. Единичный отрезок задаёт масштаб, поэтому по нему можно откладывать координаты и измерять расстояния.
Координаты точки — числа, задающие её положение на координатной плоскости. Первое число, x, называют абсциссой: оно показывает, насколько и в какую сторону точка смещена по горизонтали. Второе число, y, — ордината, она указывает положение по вертикали; вместе числа позволяют точно отметить точку.
Уравнение прямой — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки прямой и только они. Например, для прямой y = 2x − 3 координаты любой её точки при подстановке дают верное равенство. Такое описание удобно, когда прямую нужно строить или проверять принадлежность точки без измерений по чертежу.
Уравнение окружности — соотношение между координатами точек окружности, выражающее равенство расстояний от них до центра. Если центр окружности находится в начале координат, а радиус равен r, уравнение имеет вид x² + y² = r². Оно помогает определить, какие точки лежат на окружности, и найти её пересечения с другими фигурами.
Чтобы построить координатную плоскость, проводят две перпендикулярные прямые с общей точкой начала координат и выбирают на каждой единичный отрезок. Для точки A(−2; 3) сначала от начала координат откладывают две единицы влево, потому что x отрицателен, затем три единицы вверх, потому что y положителен. Порядок важен: первое перемещение всегда горизонтальное, второе — вертикальное. Если координата равна нулю, двигаться по соответствующему направлению не нужно, поэтому точка C(0; 2) находится на оси y.
На готовом чертеже координаты определяют, считая единичные деления от начала координат. Сначала прослеживают горизонтальное положение точки и находят x, затем — вертикальное и находят y. При движении по горизонтали высота не меняется, поэтому меняется абсцисса, а ордината остаётся прежней. При движении вверх или вниз, наоборот, меняется y, тогда как x сохраняется.
Чтобы проверить, лежит ли точка на графике, её координаты подставляют в уравнение вместо x и y. Если полученное равенство верно, точка удовлетворяет условию графика и принадлежит ему; если неверно — не принадлежит. Этот способ надёжнее оценки на глаз: толщина линии и неточность чертежа могут скрыть небольшое смещение точки. Подставлять координаты нужно в указанном порядке, не меняя местами абсциссу и ординату.
Прямую, параллельную оси x, можно задать уравнением y = c, где c — одно и то же число для всех её точек. Она горизонтальна, потому что ордината каждой точки одинакова, а абсцисса может меняться. У прямой, параллельной оси y, постоянна абсцисса: её записывают как x = c. Чтобы построить такую прямую, достаточно отметить две точки с нужной постоянной координатой и провести через них линию.
Уравнение окружности связывается с теоремой Пифагора: для точки (x; y) на окружности с центром в начале координат отрезки, параллельные осям, образуют катеты прямоугольного треугольника, а радиус — гипотенузу. Поэтому x² + y² = r². Если известна одна координата точки, её подставляют в уравнение и находят вторую. При пересечении с прямой используют оба условия: подставляют уравнение прямой в уравнение окружности, а найденные пары затем проверяют в исходных равенствах.
Таблица помогает выбрать условие, которое нужно проверить или использовать при решении задачи. Сначала определи, о каком объекте идёт речь, затем запиши подходящее равенство для координат. При пересечении фигур координаты должны удовлетворять условиям обеих фигур сразу.
| Фигура или объект | Условие для координат точки | Как использовать при решении |
|---|---|---|
| Точка | Координаты записывают как (x; y): сначала абсцисса, затем ордината. | По знакам и значениям координат отмечают точку на плоскости или считывают её положение. |
| Точка на прямой, параллельной оси координат | Параллельно оси x: y = c; параллельно оси y: x = c. | Постоянная координата задаёт положение прямой, а другая координата меняется. |
| Окружность с центром в начале координат | x² + y² = r², где r — радиус. | Подставляют известные координаты или находят неизвестную, используя теорему Пифагора. |
| Проверка принадлежности точки фигуре | Координаты точки должны удовлетворять уравнению фигуры. | Подставляют x и y; для точки пересечения проверяют уравнения обеих фигур. |
Условие: отметить A(−2; 3), B(4; −1) и C(0; 2), а затем определить координаты точек, отмеченных на готовом чертеже. При построении каждой точки нужно соблюдать общий порядок: сначала горизонтальное смещение, потом вертикальное. Отрицательный знак показывает направление влево или вниз, а нулевая координата означает, что точка расположена на одной из осей.
Ответ: A(−2; 3), B(4; −1), C(0; 2). Координаты точек с готового чертежа можно назвать только после подсчёта делений на самом чертеже; записывают их в порядке x, затем y.
Условие: проверить точки A(2; 1) и B(−1; 4) для прямой y = 2x − 3. Вместо того чтобы сравнивать положение точек с рисунком, проверим, выполняется ли равенство для каждой пары чисел. В уравнение подставляем первое число вместо x, второе — вместо y.
Ответ: A принадлежит прямой, B не принадлежит. Проверка показывает, почему важно сохранять порядок координат: перестановка чисел дала бы другое значение и проверила бы уже не ту точку.
Условие: найти точки пересечения окружности x² + y² = 25 и прямой y = 3. Координаты точки пересечения должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям. Прямая сразу сообщает, что ордината равна 3, поэтому её можно подставить вместо y в уравнение окружности.
Ответ: точки пересечения имеют координаты (4; 3) и (−4; 3). Обе пары дают 25 в уравнении окружности, а их ординаты равны 3, поэтому точки принадлежат и прямой.
Переставлять абсциссу и ординату — значит вместо горизонтального положения прочитать вертикальное и наоборот. Так ошибаются, когда забывают, что числа в записи точки идут в установленном порядке: сначала x, затем y. Проверить себя можно, отдельно назвав, какое число показывает движение вправо-влево, а какое — вверх-вниз.
При построении точки можно неверно учесть знак координаты и отложить расстояние не в ту сторону. Знак часто упускают, потому что сосредоточиваются на числовом значении и забывают направление. Перед построением проверь: положительное x ведёт вправо, отрицательное — влево; положительное y — вверх, отрицательное — вниз.
Считать точку принадлежащей графику только потому, что на рисунке она расположена рядом с линией, ненадёжно. Чертёж может быть выполнен неточно, а линия имеет толщину, поэтому зрительная оценка не заменяет проверку. Подставь обе координаты в уравнение и убедись, что равенство действительно верно.
При поиске пересечения иногда находят значение одной координаты и сразу записывают ответ, не проверив полученную пару. Ошибка возникает, если забыть, что точка пересечения должна лежать на обеих фигурах, а уравнение при возведении в квадрат может дать несколько значений. Подставь каждую пару координат в оба исходных уравнения и отбрось ту, которая не подходит.
Для работы с координатами нужно уверенно складывать и сравнивать положительные и отрицательные числа, а также строить перпендикулярные оси. Уравнение окружности опирается на теорему Пифагора: без неё трудно понять, откуда берётся сумма квадратов координат. Координатный метод пригодится при изучении векторов, графиков и уравнений геометрических фигур, потому что переводит геометрические условия в вычисления.
Почему координаты точки записывают именно в таком порядке?
Сначала записывают абсциссу x — расстояние по горизонтали, затем ординату y — расстояние по вертикали. Такой порядок принят для всех точек и позволяет однозначно найти положение каждой из них.
Как понять, в какой четверти находится точка?
Посмотри на знаки координат: в первой четверти x и y положительны, во второй x отрицателен, а y положителен. В третьей обе координаты отрицательны, в четвёртой x положителен, а y отрицателен. Если одна координата равна нулю, точка находится на оси, а не в четверти.
Как проверить, принадлежит ли точка прямой?
Подставь абсциссу точки вместо x, а ординату вместо y в уравнение прямой. Если после подстановки получается верное равенство, точка принадлежит прямой; если неверное — не принадлежит.
Почему у точек прямой, параллельной оси x, одинаковая ордината?
Такая прямая идёт горизонтально, поэтому при движении по ней меняется только положение слева направо. Высота точки над осью x остаётся прежней, значит, её ордината y постоянна.
Как найти точки пересечения прямой и окружности?
Нужно одновременно выполнить уравнения обеих фигур. Подставь выражение для одной координаты из уравнения прямой в уравнение окружности, найди возможные значения второй координаты, затем вычисли первую и проверь полученные пары в исходных уравнениях.
З Задачи к главе III
