§ 81. Сфера и шар

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром, а общее расстояние от неё до точек сферы — радиусом. Например, если центр обозначен O, а радиус равен r, то каждая точка сферы находится от O на расстоянии r. Так можно точно задать положение поверхности в пространстве.

Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до центра не больше радиуса. Поэтому в шар входят как точки его поверхности, так и точки внутри неё. Если центр — O, а радиус — r, расстояние до любой точки шара не превышает r. Это определение позволяет понять, какие точки принадлежат всему телу, а не только его поверхности.

Центр сферы и шара — точка, от которой отсчитывают расстояния до точек этих фигур. Он одинаково важен для сферы и шара: относительно него задают радиус и проверяют положение других точек. Центр помогает описать фигуру, даже если она расположена в пространстве под разными углами.

Радиус сферы и шара — отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, а также длина этого отрезка. Все такие отрезки одной сферы имеют одинаковую длину. Радиус нужен, чтобы описывать размер фигуры и сравнивать с ним расстояния до заданных точек.

Как это устроено

Сфера и шар связаны, но это разные геометрические объекты. Сфера состоит только из точек, удалённых от центра ровно на радиус, поэтому она образует границу. Шар включает все точки с расстоянием до центра не больше радиуса: и границу, и внутреннюю область. Различие похоже на разницу между оболочкой и предметом вместе с его содержимым.

Все радиусы одной сферы равны, потому что каждый из них соединяет один и тот же центр с точкой сферы. По определению сферы все её точки удалены от центра на одно и то же расстояние. Поэтому, какую бы точку поверхности мы ни выбрали, длина радиуса не изменится. Это общее расстояние и задаёт размер сферы и шара.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через её центр. Он состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой по разные стороны от центра. Поэтому длина диаметра вдвое больше радиуса: d = 2r, а радиус можно найти делением диаметра на 2. Например, если радиус равен 4 см, диаметр равен 8 см.

Если пересечь шар плоскостью, общей частью будет круг: плоскость проходит через внутреннюю область и может захватить также её границу. При пересечении сферы плоскостью получается окружность — линия, где плоскость встречается с поверхностью. Когда плоскость проходит через центр, круг сечения имеет наибольший размер: его радиус равен радиусу шара. Если плоскость отодвинуть от центра, сечение станет меньше, потому что в плоскости останется меньше точек, близких к центру.

Чтобы определить положение точки, нужно измерить её расстояние до центра и сравнить с радиусом. При равенстве расстояния радиусу точка лежит на сфере; если расстояние меньше, точка находится внутри шара, но не на сфере. Если расстояние больше радиуса, точка лежит вне шара. Сравнение работает потому, что радиус задаёт границу, дальше которой точки шара уже не входят.

Сравнение сферы и шара

Пользуйтесь таблицей, чтобы не смешивать поверхность и тело: у сферы рассматривают только точки границы, а у шара — ещё и внутренние точки. При выборе ответа о сечении учитывайте, что линия пересечения поверхности — окружность, а плоская часть шара — круг. Связь диаметра и радиуса одинакова для обеих фигур.

Разбор задач

Задача 1. Дан шар с центром O и радиусом 5 см. Точка A находится на расстоянии 5 см от O. Определите, где расположена точка A.

1. Сравним расстояние OA с радиусом шара: OA = 5 см и r = 5 см.
2. Расстояние равно радиусу, а значит, точка A находится на границе шара.
3. Граница шара — это сфера, поэтому точка A принадлежит сфере.

Ответ: точка A лежит на сфере — поверхности шара.

Задача 2. Диаметр сферы равен 14 см. Найдите её радиус и объясните, как изменится радиус, если диаметр увеличить на 6 см.

1. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому радиус равен половине диаметра.
2. Вычислим: r = 14 : 2 = 7 см.
3. После увеличения диаметр станет 14 + 6 = 20 см. Новый радиус равен 20 : 2 = 10 см, то есть он увеличится на 3 см.

Ответ: радиус равен 7 см; после увеличения диаметра радиус станет 10 см и увеличится на 3 см.

Задача 3. Радиус шара равен 10 см. Точки P и Q находятся от его центра на расстояниях 8 см и 12 см соответственно. Определите, какая точка принадлежит шару, а какая — сфере или не принадлежит шару.

1. Для точки P расстояние до центра равно 8 см, что меньше радиуса 10 см. Значит, P находится внутри шара.
2. Внутренняя точка принадлежит шару, но не лежит на сфере, поскольку расстояние до центра не равно радиусу.
3. Для точки Q расстояние равно 12 см, что больше радиуса. Такая точка лежит за границей шара и не принадлежит ему.

Ответ: P принадлежит шару, но не сфере; Q не принадлежит шару.

Типичные ошибки

Считать сферу и шар одним и тем же. Так ошибаются, потому что в обычной речи названия круглых предметов часто используют без различия. Но сфера — только граница, а шар включает и внутренние точки. Проверяйте себя вопросом: речь идёт о поверхности или обо всём теле?

Путать радиус с диаметром. Радиус идёт от центра до сферы, а диаметр соединяет две точки сферы через центр. Путаница возникает из-за того, что оба отрезка проходят внутри шара. Проверка простая: диаметр должен быть вдвое длиннее радиуса.

Считать точку на расстоянии меньше радиуса точкой сферы. Такая точка действительно принадлежит шару, поэтому эти понятия легко смешать. Но она находится внутри, а не на границе: для сферы расстояние должно быть равно радиусу. Сравните расстояние и радиус, прежде чем указывать, где расположена точка.

Называть сечение шара окружностью. Плоскость пересекает не только поверхность, но и внутреннюю область шара, поэтому её сечение — круг. Окружность получается при пересечении плоскости именно со сферой. Чтобы проверить себя, уточните, какая фигура пересекается с плоскостью: шар или его поверхность.

Связь с другими темами

Для изучения сферы и шара нужны понятия точки, плоскости, отрезка и расстояния между точками. Также важно различать окружность и круг: окружность является линией, а круг включает точки внутри неё. Эти различия помогают правильно описывать сечения шара и сферы. Позже понятия понадобятся при изучении тел вращения, их сечений и задач на расстояния в пространстве.

Что запомнить

• Точки сферы находятся от центра на расстоянии, равном радиусу.
• Точки шара находятся от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
• Сфера — граница шара.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Сечение шара плоскостью — круг.
• Сечение сферы плоскостью — окружность.