"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
В пространстве прямые и плоскости могут располагаться по-разному: пересекаться, не иметь общих точек или лежать одна в другой. Параллельность помогает точно описать такие положения и отличить параллельные прямые от скрещивающихся. Для доказательств используют определения и признаки: например, прямую сравнивают с прямой в плоскости, а плоскости — с двумя пересекающимися прямыми в каждой из них. Эти приёмы пригодятся при изучении кубов, параллелепипедов и других многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают a ∥ b. Условие об одной плоскости отличает параллельные прямые от скрещивающихся, которые тоже не встречаются, но расположены не в одной плоскости.
Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Записывают a ∥ α, где a — прямая, α — плоскость. Такое обозначение помогает отличить прямую, проходящую мимо плоскости, от прямой, которая целиком лежит в ней.
Параллельные плоскости — это две плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Запись α ∥ β означает, что плоскости α и β параллельны. Это понятие позволяет описывать взаимное расположение, например, противоположных граней куба.
На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны, если они различны. В пространстве возможен ещё один случай: прямые могут не пересекаться и при этом не лежать в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися. Поэтому, прежде чем назвать две непересекающиеся прямые параллельными, нужно убедиться, что через них можно провести одну плоскость.
Чтобы установить параллельность прямой и плоскости, удобно сравнить данную прямую с прямой внутри плоскости. Если эти прямые параллельны, а первая не лежит в плоскости, то она не может её пересечь: точка пересечения дала бы общую точку двух параллельных прямых. Значит, прямая параллельна плоскости. Этот признак позволяет сделать вывод, даже если плоскость на чертеже изображена лишь частью.
Для доказательства параллельности плоскостей одной пары параллельных прямых недостаточно: вокруг этой пары плоскости могут располагаться по-разному. Нужно найти в каждой плоскости по две пересекающиеся прямые и показать, что они попарно параллельны. Пересечение выбранных прямых задаёт положение каждой плоскости, а соответствие двух направлений позволяет применить признак параллельности плоскостей.
Рассмотрим куб ABCD A₁B₁C₁D₁, где ABCD — нижняя грань. У ребра AB есть параллельные рёбра CD, A₁B₁ и C₁D₁: у них одно направление, и они не пересекают AB. Прямая AB параллельна плоскости DCC₁, потому что в этой плоскости лежит DC, параллельное AB, а сама AB плоскости DCC₁ не принадлежит. Плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны: пары AB и A₁B₁, а также BC и B₁C₁ параллельны.
Параллельные плоскости не имеют общих точек, поэтому они не могут пересекаться по прямой. Если прямая лежит в одной из таких плоскостей, она также не встретит другую плоскость. Следовательно, любая прямая одной плоскости параллельна другой плоскости — это полезное следствие при решении задач.
| Объекты | Что означает параллельность | Признак или следствие |
|---|---|---|
| Две прямые | Лежат в одной плоскости и не пересекаются | Необходимо проверить, что прямые лежат в одной плоскости |
| Прямая и плоскость | Не имеют общих точек | Прямая параллельна прямой этой плоскости и не лежит в плоскости |
| Две плоскости | Не имеют общих точек | Достаточно найти по две пересекающиеся прямые в каждой и проверить их попарную параллельность |
Сначала определите, какие объекты сравниваются, затем найдите подходящее определение или признак. В последнем столбце таблицы указано, что именно нужно обосновать, а не просто увидеть на рисунке.
Задача 1. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ назовите рёбра, параллельные ребру AB. Сначала выберем рёбра, направленные так же, как AB. Затем проверим, что они не пересекают AB и лежат с ним в одной плоскости — например, в грани или в плоскости, проходящей через параллельные рёбра.
Ответ: CD, A₁B₁ и C₁D₁.
Задача 2. Определите, параллельна ли AB плоскости DCC₁. Нельзя судить только по тому, что линия и грань выглядят непересекающимися на чертеже. Нужно найти внутри плоскости прямую, параллельную AB, и проверить, что AB не лежит в этой плоскости.
Ответ: да, AB ∥ DCC₁.
Задача 3. Докажите, что плоскости противоположных граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны. Для признака нужны не просто две параллельные прямые, а по две пересекающиеся прямые в каждой плоскости. Выберем рёбра, которые сходятся в вершинах A и A₁.
Ответ: ABCD ∥ A₁B₁C₁D₁.
Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так происходит, если переносить на пространство правило для плоскости и забыть о скрещивании. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости; если нет, они скрещивающиеся.
Ошибка: объявлять прямую параллельной плоскости только потому, что на рисунке они не встречаются. Чертёж может показывать плоскость не полностью, а изображение не всегда передаёт точное положение объектов. Найдите прямую в плоскости, параллельную данной, и убедитесь, что исходная прямая плоскости не принадлежит.
Ошибка: путать параллельность прямой плоскости с принадлежностью ей. Если прямая лежит в плоскости, у них много общих точек, поэтому определение параллельности здесь не подходит. Спросите себя, есть ли у прямой с плоскостью общие точки: при принадлежности они есть.
Ошибка: доказывать параллельность плоскостей одной парой параллельных прямых. Одно направление не задаёт достаточно условий для сравнения двух плоскостей. Для проверки найдите в каждой плоскости две пересекающиеся прямые и установите параллельность соответствующих пар.
Для этой темы нужны определения прямой и плоскости, а также знания о пересекающихся и параллельных прямых на плоскости. При решении задач важно уметь читать чертёж и применять признаки параллельности, а не полагаться на внешний вид рисунка. Эти понятия понадобятся при изучении многогранников, построении сечений и доказательстве свойств пространственных фигур. Например, по параллельности рёбер и граней можно описывать устройство куба и параллелепипеда.
Чем параллельные прямые в пространстве отличаются от скрещивающихся?
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся тоже не имеют общих точек, но не лежат в одной плоскости.
Могут ли прямая и плоскость не пересекаться, но не быть параллельными?
Если прямая не имеет общих точек с плоскостью, то по определению она параллельна этой плоскости. Но на рисунке видимая часть плоскости может быть изображена не полностью, поэтому одного впечатления от чертежа недостаточно.
Как доказать, что прямая параллельна плоскости?
Найдите в плоскости прямую, параллельную данной прямой. Затем проверьте, что данная прямая не лежит в этой плоскости: по признаку она параллельна плоскости.
Какие прямые нужно найти, чтобы доказать параллельность двух плоскостей?
Найдите в каждой плоскости по две пересекающиеся прямые. Докажите, что прямые одной плоскости соответственно параллельны прямым другой плоскости.
Как распознать параллельные объекты на чертеже куба?
Сравните направления рёбер: рёбра одного направления попарно параллельны. Для прямой и грани найдите в плоскости грани параллельную ей прямую, а для плоскостей сопоставьте по две пересекающиеся прямые.
§ 80. Параллельность в пространстве
