§ 79. Угол в пространстве

Определения и обозначения

Если две прямые в пространстве пересекаются, углом между ними называют меньший из углов, образовавшихся при пересечении. Он не превосходит 90°: соседние углы в сумме составляют 180°, поэтому один из них всегда не больше прямого. Такой выбор позволяет однозначно сравнивать направления прямых.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Угол между ними определяют через пересекающиеся прямые, параллельные исходным: угол между такими вспомогательными прямыми и будет искомым. Это определение позволяет говорить об угле даже тогда, когда сами прямые не имеют общей точки.

Угол между параллельными прямыми равен 0°. У них одно и то же направление, поэтому при совмещении направлений поворачивать одну прямую относительно другой не нужно. Это правило дополняет определение угла для пересекающихся прямых.

Угол между прямыми в пространстве обобщает понятие угла между прямыми на плоскости: расположение прямых может быть любым, но сравнивают их направления. Обычно угол между прямыми a и b обозначают ∠(a, b). Такое обозначение подходит для пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых.

Как это устроено

У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому непосредственно поставить их в вершину одного угла нельзя. Чтобы сравнить направления, через точку одной прямой проводят прямую, параллельную другой; в результате две прямые пересекаются. Можно также выбрать точку вне обеих прямых и провести через неё параллельные каждой из них линии.

Точка, через которую проводят вспомогательную прямую, не влияет на результат. Все прямые, параллельные одной и той же прямой, имеют одинаковое направление, а угол определяется именно направлениями. Поэтому при переносе вспомогательных прямых угол сохраняется, как сохраняются углы при параллельном переносе фигуры.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Противоположные, или вертикальные, углы равны, а соседние, или смежные, в сумме дают 180°. Поэтому если один угол тупой, рядом с ним обязательно есть острый; меньшая величина не превосходит 90°. Именно её принимают за угол между прямыми, чтобы результат не зависел от того, какой из четырёх углов рассматривать.

Если одна из прямых уже заменена параллельной ей, найдите точку пересечения этой прямой со второй и рассмотрите угол там. Если параллельны обе вспомогательные прямые, они тоже должны пересекаться: тогда измеряют меньший угол при их пересечении. Параллельная замена удобна тем, что позволяет перенести прямые в подходящее место, не меняя их направлений.

Перед тем как считать угол найденным, проверьте построение. Каждая вспомогательная прямая должна быть параллельна соответствующей исходной, а две вспомогательные прямые должны пересекаться. Если хотя бы одно условие нарушено, построенный угол не определяет угол между исходными прямыми.

Как определить угол между двумя прямыми в пространстве

Сначала определите, как расположены прямые: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Для скрещивающихся прямых сначала выполните параллельную замену и убедитесь, что новые прямые пересекаются. Затем выберите меньший угол; для параллельных прямых ответ сразу равен 0°.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые пересекаются, и один из образовавшихся углов равен 125°. Нужно найти угол между прямыми. Поскольку 125° — тупой угол, углом между прямыми будет меньший смежный с ним угол. Найдём его по свойству смежных углов.

1. Смежные углы в сумме равны 180°.
2. Вычтем известный угол: 180° − 125° = 55°.
3. Угол 55° меньше 90°, значит, именно он является углом между прямыми.

Ответ: 55°.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB и B₁C₁. Эти прямые не пересекаются, поэтому удобнее заменить одну из них параллельной прямой, проходящей через точку пересечения со второй. В кубе ребро B₁C₁ параллельно ребру BC.

1. Через точку B рассмотрим прямую BC, параллельную B₁C₁.
2. Прямые AB и BC пересекаются в точке B, поэтому угол между ними можно определить непосредственно.
3. Грани основания куба — квадраты, следовательно, соседние рёбра AB и BC перпендикулярны. Значит, искомый угол равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 3

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между скрещивающимися прямыми AB и CC₁. Прямые AB и CC₁ не пересекаются, поэтому построим к одной из них параллельную прямую через точку на другой. Так угол станет доступен для непосредственного рассмотрения.

1. Через точку C проведём прямую CD. В кубе CD ∥ AB.
2. Прямые CD и CC₁ пересекаются в точке C, а CD параллельна одной исходной прямой; CC₁ совпадает со второй.
3. Соседние рёбра CD и CC₁ перпендикулярны, так как являются рёбрами одной квадратной грани. Полученный угол равен 90°, значит, таким же является угол между AB и CC₁.

Ответ: 90°.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что угол между скрещивающимися прямыми не определён. Так думают, потому что прямые не имеют общей точки; однако угол определяют через параллельные им пересекающиеся прямые. Проверьте, можно ли провести такие параллельные прямые и образуют ли они угол.

• Ошибка: провести вспомогательную прямую, которая не параллельна исходной. Тогда её направление отличается, и найденный угол относится уже к другим прямым. Сверьте каждую вспомогательную прямую с той исходной, которую она должна заменять.

• Ошибка: выбрать тупой угол при пересечении. Он может казаться подходящим, если смотреть только на один из четырёх углов, но углом между прямыми считается меньший угол. Проверьте, что выбранная величина не превышает 90°.

• Ошибка: считать, что угол меняется при выборе другого места для параллельных прямых. Место меняется, но направление остаётся тем же, поэтому величина угла сохраняется. Для проверки сравните направления обеих пар прямых, а не расстояние между ними.

Связь с другими темами

Чтобы работать с углами в пространстве, нужно различать параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые, а также знать свойства смежных и вертикальных углов. Позже сравнение направлений поможет определять угол между прямой и плоскостью, а также угол между плоскостями. При изучении многогранников этот способ пригодится для поиска углов между рёбрами и диагоналями, в том числе скрещивающимися.

Что запомнить

• Угол между прямыми измеряют в градусах и выбирают не больше 90°.
• Для пересекающихся прямых рассматривают меньший из образовавшихся углов.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Угол между скрещивающимися прямыми определяют через параллельные им пересекающиеся прямые.
• Параллельные замены не меняют величину угла.
• Вспомогательные прямые должны быть параллельны соответствующим исходным прямым.