§ 78. Фигуры в пространстве

Определения и обозначения

Пространственная фигура — геометрическая фигура, расположенная в пространстве. В отличие от треугольника или круга, которые можно целиком нарисовать на плоскости, пространственное тело имеет длину, ширину и высоту. Это понятие нужно, чтобы описывать предметы, которые занимают место вокруг нас, и изображать их с помощью чертежей и моделей.

Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Например, поверхность куба образована квадратами, а поверхность пирамиды — треугольниками и многоугольником в основании. Определение помогает отличать многогранники от тел с округлой поверхностью.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Грани соседствуют и соединяются сторонами, поэтому вместе образуют поверхность тела. Если на чертеже видна грань, её можно рассматривать как обычный плоский многоугольник и находить его стороны и вершины.

Ребро многогранника — общая сторона двух соседних граней, а вершина многогранника — точка, в которой сходятся рёбра. Эти понятия позволяют описывать, как части поверхности соединены друг с другом. При разборе чертежа сначала находят грани, затем их общие стороны и точки соединения этих сторон.

Как это устроено

Чтобы получить поверхность многогранника, многоугольники соединяют по сторонам: каждая сторона, оказавшаяся внутри поверхности, соприкасается с соседним многоугольником. Если сложить подходящую плоскую развёртку, отдельные многоугольники станут гранями, а некоторые их стороны совпадут и образуют рёбра. Так плоские фигуры превращаются в части единого пространственного тела, а не остаются разрозненными рисунками.

Грани, рёбра и вершины связаны, потому что поверхность многогранника состоит из соединённых многоугольников. Сторона одной грани, примыкающая к стороне соседней, является общим ребром; концы рёбер образуют вершины. На чертеже удобно проследить границу каждой видимой грани: её стороны помогают распознать рёбра, а места их встречи — вершины. Если одна сторона принадлежит двум граням, это ребро, а не два разных отрезка.

Пространственное тело на бумаге изображают плоским чертежом, поэтому часть его рёбер может быть заслонена. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, а невидимые обычно показывают пунктиром. Пунктир не означает, что ребро отсутствует: оно находится за видимой гранью и всё равно принадлежит телу. Такое обозначение помогает представить его устройство, не перегружая изображение.

Не каждое тело с плоскими участками поверхности является многогранником. У цилиндра есть плоские круглые основания, но боковая поверхность не является многоугольником; у конуса боковая поверхность тоже округлая, а у шара округлая вся поверхность. Поэтому цилиндр, конус и шар не относят к многогранникам. Для проверки нужно рассмотреть поверхность целиком, а не только заметные плоские части.

Чертёж передаёт пространственную форму условно, потому что плоскость бумаги не позволяет показать объём без условностей. Например, параллельные рёбра куба на рисунке могут быть наклонены, а равные рёбра — выглядеть отрезками разной длины. Углы между линиями тоже могут выглядеть не так, как в самом теле. Поэтому чертёж используют, чтобы понять расположение элементов, а равенство длин или углов устанавливают по условию или свойствам фигуры.

Пространственные фигуры и их особенности

Сначала посмотри на второй столбец: именно состав всей поверхности определяет, является ли тело многогранником. Затем по третьему столбцу можно сравнить характерные элементы разных фигур. У призмы и пирамиды поверхность составлена из многоугольников, а у цилиндра, конуса и шара есть округлые части.

Разбор задач

Задача 1. Грани, рёбра и вершины куба

Условие: на рисунке изображён куб. Нужно указать его грани, рёбра и вершины. Для удобства обозначим нижнее основание буквами A, B, C, D, а верхние вершины, расположенные над ними, — A₁, B₁, C₁, D₁. Скрытые линии могут быть пунктирными, но их тоже учитывают.

1. У куба два основания: ABCD и A₁B₁C₁D₁. Между ними расположены четыре боковые грани: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁.
2. У каждого основания четыре стороны, а между соответствующими вершинами оснований идут ещё четыре ребра. Получается 4 + 4 + 4 = 12 рёбер.
3. Вершины — все точки с обозначениями A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Их восемь; скрытое ребро не нужно считать второй раз, если оно уже названо.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Проверка: у каждой грани четыре стороны, но каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому при подсчёте сторон граней каждое ребро встречается дважды.

Задача 2. Какие тела являются многогранниками?

Условие: нужно выбрать многогранники среди призмы, конуса, пирамиды и цилиндра. Не будем решать по внешнему сходству или по наличию плоского основания. Критерий только один: вся поверхность тела должна состоять из многоугольников.

1. У призмы оба основания — многоугольники, а боковые грани тоже многоугольники. Значит, призма является многогранником.
2. У пирамиды основание — многоугольник, а боковые грани — треугольники. Все части её поверхности многоугольные, поэтому пирамида тоже является многогранником.
3. У конуса и цилиндра есть округлая боковая поверхность, которая не является многоугольником. Поэтому ни конус, ни цилиндр не подходят.

Ответ: многогранники — призма и пирамида. Проверка: важно было проверить поверхность целиком, а не принять тело за многогранник только потому, что у него есть плоское основание.

Задача 3. Развёртка куба

Условие: дана развёртка из шести одинаковых квадратов. Нужно определить, может ли она образовать куб, и назвать его элементы после складывания. Без конкретного расположения квадратов нельзя заранее сказать, подходит ли развёртка: некоторые наборы из шести квадратов при складывании накладываются друг на друга. Поэтому проверим, как выполнить такую проверку.

1. Выбери один квадрат за основание и мысленно подними соседние квадраты по линиям сгиба. Они должны закрыть боковые стороны, не перекрывая друг друга.
2. Подними последний квадрат и проверь, закрывает ли он оставшуюся грань. Если два квадрата занимают одно и то же место или грань остаётся открытой, такая развёртка куб не образует.
3. Если все шесть квадратов закрывают разные грани, назови их гранями куба. Стороны, по которым грани соединяются, станут рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами.

Ответ: развёртка образует куб, если при складывании шесть квадратов становятся шестью разными гранями и закрывают тело без наложений. Тогда у получившегося куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Чтобы вынести окончательный вывод о данной развёртке, нужно видеть расположение её квадратов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать многогранником любое тело, у которого есть плоские участки. Так думают, когда замечают основания цилиндра или конуса и не проверяют остальную поверхность. Проверь все части поверхности: если хотя бы одна из них не многоугольник, тело не является многогранником.

Ошибка: называть ребром любой отрезок на чертеже. Некоторые линии могут быть границами изображения или вспомогательными линиями, а настоящее ребро должно быть общей стороной двух соседних граней. Проследи, какие грани примыкают к отрезку: если он не соединяет их как общая сторона, это не ребро многогранника.

Ошибка: при подсчёте учитывать только видимые рёбра. Пунктирную линию иногда пропускают, потому что её не видно на самом теле, но она обозначает скрытое ребро. Сверь подсчёт с устройством фигуры и учитывай все рёбра, в том числе заслонённые.

Ошибка: принимать чертёж за точную копию тела. На перспективном рисунке одинаковые отрезки могут казаться разными, а углы — выглядеть искажёнными. Это происходит потому, что объёмную форму передают на плоскости; проверяй равенство по условиям и свойствам фигуры, а не только на глаз.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины. Грани пространственного тела — это именно многоугольники, поэтому умение распознавать их помогает находить рёбра и вершины многогранника. Знание свойств плоских фигур также пригодится при работе с гранями по отдельности.

Представление о пространственных фигурах понадобится при изучении объёмов тел и площадей их поверхностей. Чтобы решать такие задачи, нужно понимать, какие части образуют тело, где расположены его грани и как они соединяются. Пространственные модели помогают связывать чертёж с реальными предметами.

Что запомнить

• Пространственные фигуры рассматривают не только на плоскости, но и в пространстве.
• Многогранник имеет поверхность из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности многогранника называются гранями.
• Общие стороны соседних граней — рёбра.
• Точки соединения рёбер — вершины.
• На чертеже невидимые рёбра обычно показывают пунктиром.